NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 63

Rozwijamy prawe strony obu wzorów.

Dla sumy sześcianów:

$$\begin{aligned} (a+b)(a^2-ab+b^2) &=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\\ &=a^3+b^3. \end{aligned}$$

Dla różnicy sześcianów:

$$\begin{aligned} (a-b)(a^2+ab+b^2) &=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\\ &=a^3-b^3. \end{aligned}$$

Redukcja przeciwnych wyrazów dowodzi obu tożsamości.

Rozpoznajemy wzory na sumę lub różnicę sześcianów.

a)

$$(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+2^3=x^3+8.$$

b)

$$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1.$$

c)

$$(x^2-x+1)(1+x)=x^3+1.$$

d)

$$(x^2-6x+36)(x+6)=x^3+6^3=x^3+216.$$

e)

$$(x-8)(x^2+8x+64)=x^3-8^3=x^3-512.$$

f) Przyjmujemy $A=2x^2$ i $B=1$:

$$(2x^2-1)(4x^4+2x^2+1)=(2x^2)^3-1=8x^6-1.$$

a)

$$\begin{aligned} (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1) &=(x^2-1)(x^4+x^2+1)\\ &=(x^2)^3-1=x^6-1. \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} (3+x)(3-x)(x^4+9x^2+81) &=(9-x^2)(x^4+9x^2+81)\\ &=9^3-(x^2)^3=729-x^6. \end{aligned}$$

c) Najpierw

$$(x+2)^2-4x=x^2+4.$$

Zatem

$$(x^2+4)(x^4-4x^2+16)=(x^2)^3+4^3=x^6+64.$$

d) Kontrola skanu strony 63 pokazuje, że pierwszy czynnik ma postać $(2x+5)^2$; wykładnik $2$ zginął w źródłowym Markdownzie. Ponieważ $4x^2-20x+25=(2x-5)^2$, mamy

$$\begin{aligned} (2x+5)^2(4x^2-20x+25) &=(2x+5)^2(2x-5)^2\\ &=(4x^2-25)^2=16x^4-200x^2+625. \end{aligned}$$

Dla $n=5$ lewa strona ma postać

$$(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1).$$

Rozwijamy iloczyn:

$$\begin{aligned} &(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)\\ &=a^5+a^4+a^3+a^2+a-(a^4+a^3+a^2+a+1)\\ &=a^5-1. \end{aligned}$$

Otrzymaliśmy prawą stronę wzoru dla $n=5$, więc równość jest prawdziwa.

Korzystamy z równości

$$(x-1)(1+x+\ldots+x^{n-1})=x^n-1.$$

a)

$$(x-1)(1+x+x^2+x^3)=x^4-1.$$

b)

$$(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)=x^6-1.$$

c) Dwa pierwsze czynniki dają $x^5-1$, więc

$$(x^5-1)(x^5+1)=x^{10}-1.$$

d) Iloczyn pierwszego i ostatniego czynnika jest równy $x^4-1$. Stąd

$$(x^4-1)(x^2-1)=x^6-x^4-x^2+1.$$