Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 62

rozdział 2. Wielomiany · temat „2.4. Wzory skróconego mnożenia” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy:

(a−b)3=(a−b)2(a−b)=(a2−2ab+b2)(a−b)=a3−a2b−2a2b+2ab2+ab2−b3=a3−3a2b+3ab2−b3.\begin{aligned} (a-b)^3&=(a-b)^2(a-b)\\ &=(a^2-2ab+b^2)(a-b)\\ &=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3\\ &=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. \end{aligned}

b) Do wzoru na sześcian sumy podstawiamy −b-b w miejsce drugiego składnika:

(a−b)3=(a+(−b))3=a3+3a2(−b)+3a(−b)2+(−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3.\begin{aligned} (a-b)^3&=(a+(-b))^3\\ &=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\\ &=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. \end{aligned}
Odpowiedź

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 2

8 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Stosujemy wzory na sześcian sumy i sześcian różnicy.

a)

(x+1)3=x3+3x2+3x+1.(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1.

b)

(x−1)3=x3−3x2+3x−1.(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1.

c)

(x+3)3=x3+9x2+27x+27.(x+3)^3=x^3+9x^2+27x+27.

d)

(x−4)3=x3−12x2+48x−64.(x-4)^3=x^3-12x^2+48x-64.

e)

(2x+3)3=8x3+36x2+54x+27.(2x+3)^3=8x^3+36x^2+54x+27.

f)

(2x−1)3=8x3−12x2+6x−1.(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1.

g)

(3x+1)3=27x3+27x2+9x+1.(3x+1)^3=27x^3+27x^2+9x+1.

h)

(1−3x)3=1−9x+27x2−27x3.(1-3x)^3=1-9x+27x^2-27x^3.
Odpowiedź

a) x3+3x2+3x+1x^3+3x^2+3x+1;
b) x3−3x2+3x−1x^3-3x^2+3x-1;
c) x3+9x2+27x+27x^3+9x^2+27x+27;
d) x3−12x2+48x−64x^3-12x^2+48x-64;
e) 8x3+36x2+54x+278x^3+36x^2+54x+27;
f) 8x3−12x2+6x−18x^3-12x^2+6x-1;
g) 27x3+27x2+9x+127x^3+27x^2+9x+1;
h) 1−9x+27x2−27x31-9x+27x^2-27x^3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Stosujemy wzory na sześcian sumy lub różnicy i redukujemy wyrazy podobne.

a)

(2+2)3=8+122+12+22=20+142.(2+\sqrt2)^3=8+12\sqrt2+12+2\sqrt2=20+14\sqrt2.

b)

(5−1)3=55−15+35−1=85−16.(\sqrt5-1)^3=5\sqrt5-15+3\sqrt5-1=8\sqrt5-16.

c)

(3−3)3=27−273+27−33=54−303.(3-\sqrt3)^3=27-27\sqrt3+27-3\sqrt3=54-30\sqrt3.

d)

(2−4)3=22−24+482−64=502−88.(\sqrt2-4)^3=2\sqrt2-24+48\sqrt2-64=50\sqrt2-88.

e)

(1+25)3=1+65+60+405=61+465.(1+2\sqrt5)^3=1+6\sqrt5+60+40\sqrt5=61+46\sqrt5.

f)

(23−3)3=243−108+543−27=783−135.(2\sqrt3-3)^3=24\sqrt3-108+54\sqrt3-27 =78\sqrt3-135.

g)

(2+3)3=22+63+92+33=112+93.(\sqrt2+\sqrt3)^3=2\sqrt2+6\sqrt3+9\sqrt2+3\sqrt3 =11\sqrt2+9\sqrt3.

h)

(3−6)3=33−96+183−66=213−156.(\sqrt3-\sqrt6)^3=3\sqrt3-9\sqrt6+18\sqrt3-6\sqrt6 =21\sqrt3-15\sqrt6.
Odpowiedź

a) 2(10+72)2(10+7\sqrt2);
b) 8(5−2)8(\sqrt5-2);
c) 6(9−53)6(9-5\sqrt3);
d) 2(252−44)2(25\sqrt2-44);
e) 61+46561+46\sqrt5;
f) 3(263−45)3(26\sqrt3-45);
g) 112+9311\sqrt2+9\sqrt3;
h) 3(73−56)3(7\sqrt3-5\sqrt6).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem