NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 60 — rozwiązania zadań

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stopień iloczynu niezerowych wielomianów jest sumą stopni jego czynników. Współczynnik wiodący i wyraz wolny otrzymujemy przez pomnożenie odpowiednio współczynników wiodących i wyrazów wolnych czynników.

a)

\operatorname{st}(w)=1+2=3,\qquad a_3=1\cdot1=1,\qquad a_0=(-1)\cdot1=-1.

b)

\operatorname{st}(w)=1+2=3,\qquad a_3=3\cdot2=6,\qquad a_0=(-2)\cdot3=-6.

c)

\operatorname{st}(w)=2+3=5,\qquad a_5=(-1)\cdot4=-4,\qquad a_0=1\cdot1=1.

d)

\operatorname{st}(w)=1+1+1=3,\qquad a_3=1,\qquad a_0=(-1)(-2)(-3)=-6.

e)

\operatorname{st}(w)=1+1+2=4,\qquad a_4=(-2)\cdot1\cdot3=-6,\qquad a_0=1\cdot1\cdot2=2.

f)

\operatorname{st}(w)=2+2+1=5,\qquad a_5=4\cdot(-1)\cdot(-3)=12,\qquad a_0=1\cdot1\cdot6=6.

Odpowiedź

a) $\operatorname{st}(w)=3$ , $a_3=1$ , $a_0=-1$ ;
b) $\operatorname{st}(w)=3$ , $a_3=6$ , $a_0=-6$ ;
c) $\operatorname{st}(w)=5$ , $a_5=-4$ , $a_0=1$ ;
d) $\operatorname{st}(w)=3$ , $a_3=1$ , $a_0=-6$ ;
e) $\operatorname{st}(w)=4$ , $a_4=-6$ , $a_0=2$ ;
f) $\operatorname{st}(w)=5$ , $a_5=12$ , $a_0=6$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Korzystamy ze wzoru $(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$ :

\begin{aligned} v(x)&=(x^3-4x^2+3)^2\\ &=x^6-8x^5+16x^4+6x^3-24x^2+9. \end{aligned}

Najwyższa potęga to $x^6$ , więc $\operatorname{st}(v)=6$ .

b)

\begin{aligned} v(x)&=(\sqrt2x^2+x-2\sqrt2)^2\\ &=2x^4+2\sqrt2x^3-7x^2-4\sqrt2x+8. \end{aligned}

Zatem $\operatorname{st}(v)=4$ .

Odpowiedź

a) $v(x)=x^6-8x^5+16x^4+6x^3-24x^2+9$ , $\operatorname{st}(v)=6$ ;
b) $v(x)=2x^4+2\sqrt2x^3-7x^2-4\sqrt2x+8$ , $\operatorname{st}(v)=4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy każdy składnik pierwszego wielomianu przez każdy składnik drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

a)

\begin{aligned} f(x)&=(x^2+3x-1)(x^4-6x^3-2x^2)\\ &=x^6-3x^5-21x^4+2x^2. \end{aligned}

Ponadto

\begin{aligned} g(x)&=(x^2+3x-1)^2-(x^4-6x^3-2x^2)\\ &=(x^4+6x^3+7x^2-6x+1)-(x^4-6x^3-2x^2)\\ &=12x^3+9x^2-6x+1. \end{aligned}

b)

\begin{aligned} f(x)&=(x^4-x^2+1)(-6x^3+2x^2-1)\\ &=-6x^7+2x^6+6x^5-3x^4-6x^3+3x^2-1, \end{aligned}

\begin{aligned} g(x)&=(x^4-x^2+1)^2-(-6x^3+2x^2-1)\\ &=x^8-2x^6+3x^4+6x^3-4x^2+2. \end{aligned}

c)

\begin{aligned} f(x)&=(x^3-x^2+x+1)(3x^2-2x+1)\\ &=3x^5-5x^4+6x^3-x+1, \end{aligned}

\begin{aligned} g(x)&=(x^3-x^2+x+1)^2-(3x^2-2x+1)\\ &=x^6-2x^5+3x^4-4x^2+4x. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $f(x)=x^6-3x^5-21x^4+2x^2$ , $g(x)=12x^3+9x^2-6x+1$ ;
b) $f(x)=-6x^7+2x^6+6x^5-3x^4-6x^3+3x^2-1$ , $g(x)=x^8-2x^6+3x^4+6x^3-4x^2+2$ ;
c) $f(x)=3x^5-5x^4+6x^3-x+1$ , $g(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^2+4x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

P=2(ab+ac+bc).

a) Warunki dodatniości krawędzi dają $x>2$ . Obliczamy:

\begin{aligned} P(x)&=2\bigl[(x+1)(x+2)+(x+1)(2x-4)+(x+2)(2x-4)\bigr]\\ &=2(5x^2+x-10)=10x^2+2x-20. \end{aligned}

b) Mamy $x+2>0$ oraz $x^2-1>0$ , natomiast $x^2+4>0$ dla każdego $x$ . Stąd

x\in(-2;-1)\cup(1;\infty).

Ponadto

\begin{aligned} P(x)&=2\bigl[(x^2+4)(x+2)+(x^2+4)(x^2-1) +(x+2)(x^2-1)\bigr]\\ &=2x^4+4x^3+14x^2+6x+4. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $P(x)=10x^2+2x-20$ , $x\in(2;\infty)$ ;
b) $P(x)=2x^4+4x^3+14x^2+6x+4$ , $x\in(-2;-1)\cup(1;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy wielomian $u$ i porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach $x$ .

a)

u(x)=(x^2-3x+1)(x^2+4x)=x^4+x^3-11x^2+4x.

Zatem $m=1$ oraz $n=-11$ .

b)

u(x)=(x^2-2x^4)(2x^2-x+1) =-4x^6+2x^5-x^3+x^2.

Współczynnik przy $x^4$ jest równy $0$ , więc $m=-4$ i $n=0$ .

c)

u(x)=(x^3+2x)(x^2-2x^4)=-2x^7-3x^5+2x^3.

Porównanie współczynników daje

m+1=-2,\qquad 2n-1=-3,

czyli $m=-3$ i $n=-1$ .

Odpowiedź

a) $m=1$ , $n=-11$ ;
b) $m=-4$ , $n=0$ ;
c) $m=-3$ , $n=-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

\begin{aligned} v(x,y)&=(2x^2-xy)^2-2(6x^3y^2-3x^2y^2+y^4)\\ &=4x^4-4x^3y+x^2y^2-12x^3y^2+6x^2y^2-2y^4\\ &=4x^4-12x^3y^2-4x^3y+7x^2y^2-2y^4. \end{aligned}

b)

\begin{aligned} v(x,y)&=(3x^2y+2xy^2)^2 -2(2x^4y^4+4x^4y^2+3x^3y^3-xy^4)\\ &=9x^4y^2+12x^3y^3+4x^2y^4 -4x^4y^4-8x^4y^2-6x^3y^3+2xy^4\\ &=-4x^4y^4+x^4y^2+6x^3y^3+4x^2y^4+2xy^4. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $v(x,y)=4x^4-12x^3y^2-4x^3y+7x^2y^2-2y^4$ ;
b) $v(x,y)=-4x^4y^4+x^4y^2+6x^3y^3+4x^2y^4+2xy^4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

\begin{aligned} &(2x^2y+3xy^2)(x-y-4)\\ &=2x^3y-2x^2y^2-8x^2y+3x^2y^2-3xy^3-12xy^2\\ &=2x^3y+x^2y^2-8x^2y-3xy^3-12xy^2. \end{aligned}

b) Najpierw mnożymy dwa pierwsze czynniki:

(x+y)(x-2y)=x^2-xy-2y^2.

Stąd

\begin{aligned} &(x^2-xy-2y^2)(x-xy+y^2)\\ &=-x^3y+x^3+2x^2y^2-x^2y+xy^3-2xy^2-2y^4. \end{aligned}

c) Mamy $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ , zatem

\begin{aligned} &(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)\\ &=x^6+x^5y+x^4y^2+2x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6. \end{aligned}

d) Jest to wzór $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3$ dla $A=\sqrt2x$ i $B=\sqrt3y$ . Otrzymujemy

2\sqrt2x^3-3\sqrt3y^3.

Odpowiedź

a) $2x^3y+x^2y^2-8x^2y-3xy^3-12xy^2$ ;
b) $-x^3y+x^3+2x^2y^2-x^2y+xy^3-2xy^2-2y^4$ ;
c) $x^6+x^5y+x^4y^2+2x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6$ ;
d) $2\sqrt2x^3-3\sqrt3y^3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Najpierw

(x-2y)(y-2z)=xy-2xz-2y^2+4yz.

Po pomnożeniu przez $z-2x$ otrzymujemy

-2x^2y+4x^2z+4xy^2-7xyz-2xz^2-2y^2z+4yz^2.

b) Korzystamy z różnicy kwadratów:

(x+y+z)(x-y-z)=x^2-(y+z)^2=x^2-y^2-2yz-z^2.

c) Grupujemy czynniki:

(2x-y)(2x+y)=4x^2-y^2,\qquad (3y+2z)(3y-2z)=9y^2-4z^2.

Zatem

\begin{aligned} (4x^2-y^2)(9y^2-4z^2) =36x^2y^2-16x^2z^2-9y^4+4y^2z^2. \end{aligned}

d) Wyłączamy $x$ z pierwszego czynnika i mnożymy:

\begin{aligned} &x(1+y+yz)(1+x-yz)\\ &=x^2yz+x^2y+x^2-xy^2z^2-xy^2z+xy+x. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $-2x^2y+4x^2z+4xy^2-7xyz-2xz^2-2y^2z+4yz^2$ ;
b) $x^2-y^2-2yz-z^2$ ;
c) $36x^2y^2-16x^2z^2-9y^4+4y^2z^2$ ;
d) $x^2yz+x^2y+x^2-xy^2z^2-xy^2z+xy+x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Różnica objętości jest równa

\begin{aligned} V(x,y,z)&=(x+1)(y+2)(z+3)-(x+1)(y+1)(z+1)\\ &=(x+1)\bigl[(y+2)(z+3)-(y+1)(z+1)\bigr]. \end{aligned}

Wyrażenie w nawiasie upraszcza się do

yz+3y+2z+6-(yz+y+z+1)=2y+z+5.

Stąd

V(x,y,z)=(x+1)(2y+z+5)=2xy+xz+5x+2y+z+5.

Aby wszystkie krawędzie obu prostopadłościanów były dodatnie, musi zachodzić

x>-1,\qquad y>-1,\qquad z>-1.

Odpowiedź

$V(x,y,z)=2xy+xz+5x+2y+z+5$ , gdzie $x>-1$ , $y>-1$ i $z>-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem