Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 59

rozdział 2. Wielomiany · temat „2.3. Mnożenie wielomianów” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Po rozwinięciu każdego iloczynu odczytujemy współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny.

a)

(2x−1)(x3−3x2+7x)=2x4−7x3+17x2−7x.(2x-1)(x^3-3x^2+7x)=2x^4-7x^3+17x^2-7x.

Współczynnik wiodący wynosi 22, a wyraz wolny 00.

b)

(x2+2)(4x2−3x+4)=4x4−3x3+12x2−6x+8.(x^2+2)(4x^2-3x+4)=4x^4-3x^3+12x^2-6x+8.

Współczynnik wiodący to 44, a wyraz wolny 88.

c)

(x2−x)(2x4−x+1)=2x6−2x5−x3+2x2−x.(x^2-x)(2x^4-x+1)=2x^6-2x^5-x^3+2x^2-x.

Współczynnik wiodący wynosi 22, a wyraz wolny 00.

d)

(6−3x2−2x3)(x3−4x+1)=−2x6−3x5+8x4+16x3−3x2−24x+6.\begin{aligned} (6-3x^2-2x^3)(x^3-4x+1) &=-2x^6-3x^5+8x^4+16x^3\\ &\quad-3x^2-24x+6. \end{aligned}

Współczynnik wiodący to −2-2, a wyraz wolny 66.

e)

(2x3+12x+1)(x2−x−14)=2x5−2x4+12x2−98x−14.\begin{aligned} \left(2x^3+\frac12x+1\right) \left(x^2-x-\frac14\right) &=2x^5-2x^4+\frac12x^2\\ &\quad-\frac98x-\frac14. \end{aligned}

Wyrazy trzeciego stopnia redukują się. Współczynnik wiodący wynosi 22, a wyraz wolny −14-\frac14.

f)

(2−2x2−x4)(2+x+4x2)=−4x6−x5−52x4−2x3+6x2+2x+22.\begin{aligned} (2-\sqrt2x^2-x^4)(\sqrt2+x+4x^2) &=-4x^6-x^5-5\sqrt2x^4-\sqrt2x^3\\ &\quad+6x^2+2x+2\sqrt2. \end{aligned}

Współczynnik wiodący to −4-4, a wyraz wolny 222\sqrt2.

Odpowiedź

a) 2x4−7x3+17x2−7x2x^4-7x^3+17x^2-7x; współczynnik wiodący 22, wyraz wolny 00;
b) 4x4−3x3+12x2−6x+84x^4-3x^3+12x^2-6x+8; współczynnik wiodący 44, wyraz wolny 88;
c) 2x6−2x5−x3+2x2−x2x^6-2x^5-x^3+2x^2-x; współczynnik wiodący 22, wyraz wolny 00;
d) −2x6−3x5+8x4+16x3−3x2−24x+6-2x^6-3x^5+8x^4+16x^3-3x^2-24x+6; współczynnik wiodący −2-2, wyraz wolny 66;
e) 2x5−2x4+12x2−98x−142x^5-2x^4+\frac12x^2-\frac98x-\frac14; współczynnik wiodący 22, wyraz wolny −14-\frac14;
f) −4x6−x5−52x4−2x3+6x2+2x+22-4x^6-x^5-5\sqrt2x^4-\sqrt2x^3+6x^2+2x+2\sqrt2; współczynnik wiodący −4-4, wyraz wolny 222\sqrt2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Objętość prostopadłościanu jest iloczynem długości jego trzech krawędzi: V=abcV=abc.

a)

V(x)=(x−1)(x+1)x=(x2−1)x=x3−x.V(x)=(x-1)(x+1)x=(x^2-1)x=x^3-x.

Wszystkie krawędzie mają być dodatnie, więc x>1x>1.

b)

V(x)=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6.\begin{aligned} V(x)&=(x+1)(x+2)(x+3)\\ &=(x^2+3x+2)(x+3)\\ &=x^3+6x^2+11x+6. \end{aligned}

Warunki x+1>0x+1>0, x+2>0x+2>0, x+3>0x+3>0 dają x>−1x>-1.

c) Najpierw mnożymy czynniki tworzące różnicę kwadratów:

V(x)=(2x+1)(2x−1)(12x+1)=(4x2−1)(12x+1)=2x3+4x2−12x−1.\begin{aligned} V(x)&=(2x+1)(2x-1)\left(\frac12x+1\right)\\ &=(4x^2-1)\left(\frac12x+1\right)\\ &=2x^3+4x^2-\frac12x-1. \end{aligned}

Spośród warunków dodatniości krawędzi najsilniejszy jest 2x−1>02x-1>0, czyli x>12x>\frac12.

d)

V(x)=(x+3)2(x2−9)=(x2+6x+9)(x2−9)=x4+6x3−54x−81.\begin{aligned} V(x)&=(x+3)^2(x^2-9)\\ &=(x^2+6x+9)(x^2-9)\\ &=x^4+6x^3-54x-81. \end{aligned}

Warunki x+3>0x+3>0 i x2−9>0x^2-9>0 mają część wspólną x>3x>3.

Odpowiedź

a) V(x)=x3−xV(x)=x^3-x, x∈(1;∞)x\in(1;\infty);
b) V(x)=x3+6x2+11x+6V(x)=x^3+6x^2+11x+6, x∈(−1;∞)x\in(-1;\infty);
c) V(x)=2x3+4x2−12x−1V(x)=2x^3+4x^2-\frac12x-1, x∈(12;∞)x\in(\frac12;\infty);
d) V(x)=x4+6x3−54x−81V(x)=x^4+6x^3-54x-81, x∈(3;∞)x\in(3;\infty).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Mnożymy każdy jednomian z uu przez każdy jednomian z ww i redukujemy wyrazy podobne.

a)

u⋅w=(xy−2x2)(2x2−3y2+x)=−4x4+2x3y+6x2y2−3xy3−2x3+x2y.\begin{aligned} u\cdot w &=(xy-2x^2)(2x^2-3y^2+x)\\ &=-4x^4+2x^3y+6x^2y^2-3xy^3-2x^3+x^2y. \end{aligned}

b)

u⋅w=(3xy2−2x+1)(x2y+2xy−y)=3x3y3+6x2y3−2x3y−3xy3−3x2y+4xy−y.\begin{aligned} u\cdot w &=(3xy^2-2x+1)(x^2y+2xy-y)\\ &=3x^3y^3+6x^2y^3-2x^3y-3xy^3-3x^2y+4xy-y. \end{aligned}

c)

u⋅w=(4x2y+3xy2−2xy)(x2y2−3x2y+xy)=4x4y3+3x3y4−12x4y2−11x3y3+10x3y2+3x2y3−2x2y2.\begin{aligned} u\cdot w &=(4x^2y+3xy^2-2xy)(x^2y^2-3x^2y+xy)\\ &=4x^4y^3+3x^3y^4-12x^4y^2-11x^3y^3\\ &\quad+10x^3y^2+3x^2y^3-2x^2y^2. \end{aligned}
Odpowiedź

a) −4x4+2x3y+6x2y2−3xy3−2x3+x2y-4x^4+2x^3y+6x^2y^2-3xy^3-2x^3+x^2y;
b) 3x3y3+6x2y3−2x3y−3xy3−3x2y+4xy−y3x^3y^3+6x^2y^3-2x^3y-3xy^3-3x^2y+4xy-y;
c) 4x4y3+3x3y4−12x4y2−11x3y3+10x3y2+3x2y3−2x2y24x^4y^3+3x^3y^4-12x^4y^2-11x^3y^3 +10x^3y^2+3x^2y^3-2x^2y^2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Rozwijamy iloczyny przez wymnożenie wszystkich par jednomianów.

a)

u⋅w=(x2y+x2z+yz)(2xyz−yz)=2x3y2z+2x3yz2−x2y2z−x2yz2+2xy2z2−y2z2.\begin{aligned} u\cdot w &=(x^2y+x^2z+yz)(2xyz-yz)\\ &=2x^3y^2z+2x^3yz^2-x^2y^2z-x^2yz^2 +2xy^2z^2-y^2z^2. \end{aligned}

b)

u⋅w=(3xyz−4xz2+y2z)(x2y−xy2+2z)=3x3y2z−4x3yz2−2x2y3z+4x2y2z2−xy4z+6xyz2−8xz3+2y2z2.\begin{aligned} u\cdot w &=(3xyz-4xz^2+y^2z)(x^2y-xy^2+2z)\\ &=3x^3y^2z-4x^3yz^2-2x^2y^3z+4x^2y^2z^2-xy^4z\\ &\quad+6xyz^2-8xz^3+2y^2z^2. \end{aligned}

c)

u⋅w=(xy2z2+2xyz2−xyz)(x2+2y2+3z2)=x3y2z2+2xy4z2+3xy2z4+2x3yz2+4xy3z2+6xyz4−x3yz−2xy3z−3xyz3.\begin{aligned} u\cdot w &=(xy^2z^2+2xyz^2-xyz)(x^2+2y^2+3z^2)\\ &=x^3y^2z^2+2xy^4z^2+3xy^2z^4+2x^3yz^2+4xy^3z^2\\ &\quad+6xyz^4-x^3yz-2xy^3z-3xyz^3. \end{aligned}
Odpowiedź

a) 2x3y2z+2x3yz2−x2y2z−x2yz2+2xy2z2−y2z22x^3y^2z+2x^3yz^2-x^2y^2z-x^2yz^2+2xy^2z^2-y^2z^2;
b) 3x3y2z−4x3yz2−2x2y3z+4x2y2z2−xy4z+6xyz2−8xz3+2y2z23x^3y^2z-4x^3yz^2-2x^2y^3z+4x^2y^2z^2-xy^4z +6xyz^2-8xz^3+2y^2z^2;
c) x3y2z2+2xy4z2+3xy2z4+2x3yz2+4xy3z2+6xyz4−x3yz−2xy3z−3xyz3x^3y^2z^2+2xy^4z^2+3xy^2z^4+2x^3yz^2+4xy^3z^2 +6xyz^4-x^3yz-2xy^3z-3xyz^3.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem