NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 57

a) Po podstawieniu $x=-2$ i $y=3$ otrzymujemy

$$\begin{aligned} w(-2,3) &=\frac13\cdot(-2)^2\cdot3^3 -3\cdot(-2)\cdot3^2+(-2)^3\cdot3\\ &=36+54-24=66. \end{aligned}$$

b) Dla $x=2$ i $y=-4$ mamy

$$\begin{aligned} w(2,-4) &=2^5-\frac14\cdot2^2\cdot(-4)^3 -\frac18\cdot2\cdot(-4)^2 -\frac1{16}\cdot2\cdot(-4)^4\\ &=32+64-4-32=60. \end{aligned}$$

Figurę $F_1$ tworzą dwa prostokąty o wymiarach $x$ i $y$, więc

$$P_1=2xy.$$

Figura $F_2$ składa się z kwadratu o boku $x$ i kwadratu o boku $y$:

$$P_2=x^2+y^2.$$

Figurę $F_3$ otrzymujemy z prostokąta o wymiarach $y$ oraz $x+y$ przez wycięcie prostokąta o bokach $x$ i $x+\frac12y$. Zatem

$$\begin{aligned} P_3&=y(x+y)-x\left(x+\frac12y\right)\\ &=-x^2+\frac12xy+y^2. \end{aligned}$$

Suma pól jest równa

$$\begin{aligned} P(x,y)&=P_1+P_2+P_3\\ &=2xy+x^2+y^2-x^2+\frac12xy+y^2\\ &=\frac52xy+2y^2. \end{aligned}$$

Podstawiamy kolejno współrzędne trójek $P=(1,-1,1)$ oraz $Q=(-1,1,-1)$.

a)

$$w(P)=-2+4+5-6=1,$$ $$w(Q)=-2+4-5+6=3.$$

Zatem większa jest wartość dla $Q$.

b)

$$w(P)=-2+1+3+1=3,$$ $$w(Q)=2+1-3-1=-1.$$

Większa jest wartość dla $P$.

c)

$$w(P)=-\frac13+\frac12+\frac56+1=2,$$ $$w(Q)=-\frac13+\frac12-\frac56+1=\frac13.$$

Również tutaj większa jest wartość dla $P$.

Mnożymy współczynniki wielomianu $u$ przez $2$, współczynniki wielomianu $w$ przez $-3$, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

a)

$$\begin{aligned} v(x,y,z) &=\left(x^2yz^2+3x^2yz-2xyz^2\right)\\ &\quad+\left(-2x^2yz^2+3x^2yz-3xyz\right)\\ &=-x^2yz^2+6x^2yz-2xyz^2-3xyz. \end{aligned}$$

Najwyższy stopień ma jednomian $-x^2yz^2$ i jest równy $2+1+2=5$, więc $\operatorname{st}(v)=5$.

b)

$$\begin{aligned} v(x,y,z) &=4x^3y^2z-2xy^2z^2+2xyz\\ &\quad-9xyz^2+3xyz+6yz^2\\ &=4x^3y^2z-2xy^2z^2-9xyz^2+5xyz+6yz^2. \end{aligned}$$

Jednomian $4x^3y^2z$ ma stopień $3+2+1=6$, większy od stopni pozostałych jednomianów, zatem $\operatorname{st}(v)=6$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $a,b,c$ jest równe $2(ab+ac+bc)$. Dla pierwszego prostopadłościanu otrzymujemy

$$S_1=2(xy+xz+yz).$$

Dla drugiego:

$$\begin{aligned} S_2&=2\bigl((x+1)(y+2)+(x+1)(z+3)+(y+2)(z+3)\bigr)\\ &=2xy+2xz+2yz+10x+8y+6z+22. \end{aligned}$$

Zatem

$$S_1+S_2=4xy+4xz+4yz+10x+8y+6z+22.$$