NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 56

Dodajemy albo odejmujemy współczynniki przy jednakowych potęgach $x$.

a)

$$\begin{aligned} (f+g)(x)&=x^6+x^3+x^2-2x+6,\\ (f-g)(x)&=\frac12x^6-4x^4-x^3+\frac32x^2+2x+2. \end{aligned}$$

b)

$$\begin{aligned} (f+g)(x)&=-3x^5+x^2-x+2,\\ (f-g)(x)&=-2x^6+3x^5-5x^2+9x+2. \end{aligned}$$

c)

$$\begin{aligned} (f+g)(x)&=x^5+3x^4+x-3,\\ (f-g)(x)&=4x^7-x^5+3x^4+7x-7. \end{aligned}$$

Suma współczynników wielomianu $r$ jest równa $r(1)$.

a)

$$\begin{aligned} w(x)&=2\left(x^5+\frac12x^2+3\right) -3\left(-2x^4+\frac13x^2+2\right)\\ &=2x^5+6x^4, \end{aligned}$$

więc $\operatorname{st}(w)=5$ i $w(1)=8$.

Ponadto

$$\begin{aligned} u(x)&=\frac12\left(-2x^4+\frac13x^2+2\right) -\frac13\left(x^5+\frac12x^2+3\right)\\ &=-\frac13x^5-x^4, \end{aligned}$$

zatem $\operatorname{st}(u)=5$ i $u(1)=-\frac43$.

b)

$$\begin{aligned} w(x)&=2(3x^5+6x^3-9x)-3(2x^5+4x^3-4x^2)\\ &=12x^2-18x, \end{aligned}$$

więc $\operatorname{st}(w)=2$ i $w(1)=-6$.

Podobnie

$$\begin{aligned} u(x)&=\frac12(2x^5+4x^3-4x^2) -\frac13(3x^5+6x^3-9x)\\ &=-2x^2+3x, \end{aligned}$$

stąd $\operatorname{st}(u)=2$ i $u(1)=1$.

Podstawiamy podane wartości do zależności między wielomianami.

a)

$$f(5)=7+2\cdot(-2)=3,$$ $$g(5)=2\cdot7-3\cdot(-2)=20.$$

b)

$$f(-3)=-4+2\cdot(-6)=-16,$$ $$g(-3)=2\cdot(-4)-3\cdot(-6)=10.$$

c) Dla argumentu $-\frac12$ oznaczmy krótko szukane wartości przez $u$ i $w$. Otrzymujemy układ

$$\begin{cases} u+2w=-9,\\ 2u-3w=13. \end{cases}$$

Po odjęciu od drugiego równania podwojonego pierwszego mamy

$$-7w=31,$$

czyli $w=-\frac{31}{7}$, a następnie

$$u=-9-2w=-\frac17.$$

a) Wielomiany mają różne stopnie, więc wyraz stopnia $5$ pochodzący z $p$ nie może się zredukować. Zatem

$$\operatorname{st}(p+q)=5.$$

b) Oba wielomiany mają stopień $5$. Jeżeli suma ich współczynników wiodących jest niezerowa, to $\operatorname{st}(p+q)=5$. Jeżeli te współczynniki się redukują, stopień sumy jest mniejszy niż $5$; suma może być także wielomianem zerowym.

c) Gdy $m\ne n$, wyraz najwyższego stopnia nie może się zredukować, więc

$$\operatorname{st}(p+q)=\max\{m,n\}.$$

Gdy $m=n$, stopień sumy jest równy co najwyżej $m$, o ile suma nie jest wielomianem zerowym.

Najpierw redukujemy wyrazy podobne w sumie.

a)

$$(u+w)(x)=ax^6+2x^4+5x^2-3x+10.$$

Dla $a\ne0$ najwyższa potęga to $x^6$, a dla $a=0$ — $x^4$.

b)

$$(u+w)(x)=-(a+6)x^5-x+9.$$

Dla $a\ne-6$ wielomian ma stopień $5$. Dla $a=-6$ pozostaje $-x+9$, czyli wielomian stopnia $1$.

c)

$$(u+w)(x)=(a^2-1)x^4+(a+1)x^3+4x+3.$$

Jeżeli $a\notin\{-1,1\}$, współczynnik przy $x^4$ jest niezerowy i stopień wynosi $4$. Dla $a=1$ wyraz czwartego stopnia znika, lecz pozostaje $2x^3$, więc stopień wynosi $3$. Dla $a=-1$ znikają oba najwyższe wyrazy i otrzymujemy $4x+3$, czyli stopień $1$.

a) Po dodaniu otrzymujemy

$$(u+w)(x)=bx^5+(a+7)x^3+x^2+x-4.$$

Jeżeli $b\ne0$, stopień wynosi $5$. Dla $b=0$ i $a\ne-7$ wynosi $3$, a dla $b=0$, $a=-7$ pozostaje wielomian stopnia $2$.

b)

$$(u+w)(x)=(a+3)x^7+(3-b)x^2-5x+10.$$

Dla $a\ne-3$ stopień wynosi $7$. Jeżeli $a=-3$ i $b\ne3$, wynosi $2$. Dla $a=-3$ oraz $b=3$ pozostaje $-5x+10$, więc stopień wynosi $1$.

c)

$$(u+w)(x)=(a-b)x^4-(b+4)x^3+9x+1.$$

Gdy $a\ne b$, stopień wynosi $4$. Gdy $a=b\ne-4$, wyraz czwartego stopnia znika, ale współczynnik przy $x^3$ jest niezerowy, więc stopień wynosi $3$. Dla $a=b=-4$ pozostaje $9x+1$, czyli wielomian stopnia $1$.

a) Z wykresu odczytujemy, że parabola $h$ ma miejsca zerowe $-2$ i $0$ oraz wierzchołek $(-1,1)$. Ma więc wzór

$$h(x)=-(x+1)^2+1=-x^2-2x.$$

Ponieważ

$$h(x)=p\,x+q\,x^2,$$

porównanie współczynników daje

$$p=-2,\qquad q=-1.$$

b)

$$\begin{aligned} k(x)&=2h(x)+4g(x)\\ &=2(-x^2-2x)+4x^2\\ &=2x^2-4x=2(x-1)^2-2. \end{aligned}$$

Wykres jest parabolą skierowaną ramionami w górę, o wierzchołku $(1,-2)$, osi symetrii $x=1$ i miejscach zerowych $0$ oraz $2$. Te dane wyznaczają jej szkic.