Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 54

rozdział 2. Wielomiany · temat „2.2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 4

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odejmując wielomian, zmieniamy znaki wszystkich jego składników.

\begin{aligned} u(x)-w(x) &=5x^9+2x^8+4x^4+2x+1\\ &\quad-\left(-2x^8-6x^4+\frac32x-\frac12\right)\\ &=5x^9+4x^8+10x^4+\frac12x+\frac32. \end{aligned}

Stąd

\operatorname{st}(u)=9,\qquad \operatorname{st}(w)=8, \qquad \operatorname{st}(u-w)=9.

b) Zamieniamy ułamki dziesiętne:

0{,}75=\frac34,\qquad 0{,}2=\frac15, \qquad 0{,}125=\frac18.

Zatem

\begin{aligned} u(x)-w(x) &=\left(\frac34-\frac34\right)x^6 +\left(\frac15+\frac15\right)x^4 +\left(-\frac38-\frac18\right)x^2+1\\ &=\frac25x^4-\frac12x^2+1. \end{aligned}

Wobec tego

\operatorname{st}(u)=6,\qquad \operatorname{st}(w)=6, \qquad \operatorname{st}(u-w)=4.

Odpowiedź

a) $u(x)-w(x)=5x^9+4x^8+10x^4+\frac12x+\frac32$ ; $\operatorname{st}(u)=9$ , $\operatorname{st}(w)=8$ , $\operatorname{st}(u-w)=9$ ;
b) $u(x)-w(x)=\frac25x^4-\frac12x^2+1$ ; $\operatorname{st}(u)=6$ , $\operatorname{st}(w)=6$ , $\operatorname{st}(u-w)=4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

\begin{aligned} h(x)&=3(-2x^6+4x^3-8x+5)\\ &\quad-4(x^6-2x^4+3x^3-6x+2)\\ &=-10x^6+8x^4+7. \end{aligned}

Stąd

h(-1)=-10+8+7=5.

\begin{aligned} h(x)&=3(2x^5-6x^4-x^2+4x)\\ &\quad-4\left(\frac32x^5-x^4+3x^2+3x-1\right)\\ &=-14x^4-15x^2+4. \end{aligned}

Zatem

h(-1)=-14-15+4=-25.

Odpowiedź

a) $h(x)=-10x^6+8x^4+7$ , $h(-1)=5$ ;
b) $h(x)=-14x^4-15x^2+4$ , $h(-1)=-25$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Obliczamy wartości obu wielomianów dla $x=1$ :

f(1)=1-2+1+1=1,

g(1)=1-3+2-1=-1.

Zatem

u(1)=2f(1)+4g(1)=2\cdot1+4\cdot(-1)=-2.

Punkt $P(1,-2)$ należy więc do wykresu wielomianu $u$ .

b) Dla $x=0$ mamy

f(0)=1,\qquad g(0)=-1.

Stąd

a=w(0)=2f(0)-3g(0)=2\cdot1-3\cdot(-1)=5.

Odpowiedź

a) Tak. b) $a=5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem