NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 53

Dodajemy współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.

a)

$$\begin{aligned} u(x)+w(x) &=17x^4+6x^3+(-14+11)x^2+(7-5)x+(-5+5)\\ &=17x^4+6x^3-3x^2+2x. \end{aligned}$$

Najwyższe potęgi pokazują, że

$$\operatorname{st}(u)=4,\qquad \operatorname{st}(w)=3, \qquad \operatorname{st}(u+w)=4.$$

b) Wyrazy $9x^7$ i $-9x^7$ redukują się:

$$\begin{aligned} u(x)+w(x) &=(9-9)x^7+6x^4-13x^3+(10-12)x^2+(-2+7)\\ &=6x^4-13x^3-2x^2+5. \end{aligned}$$

Zatem

$$\operatorname{st}(u)=7,\qquad \operatorname{st}(w)=7, \qquad \operatorname{st}(u+w)=4.$$

W każdym podpunkcie wybieramy wielomiany stopnia $4$ i, gdy potrzeba, redukujemy ich wyrazy stopnia $4$.

a) Dla $u(x)=x^4$ i $w(x)=x^4$ mamy $u(x)+w(x)=2x^4$, więc suma ma stopień $4$.

b) Dla $u(x)=x^4$ i $w(x)=-x^4+x^3$ mamy $u(x)+w(x)=x^3$, więc suma ma stopień $3$.

c) Dla $u(x)=x^4$ i $w(x)=-x^4+x^2$ mamy $u(x)+w(x)=x^2$, więc suma ma stopień $2$.

d) Dla $u(x)=x^4$ i $w(x)=-x^4+x$ mamy $u(x)+w(x)=x$, więc suma ma stopień $1$.

e) Dla $u(x)=x^4$ i $w(x)=-x^4+1$ mamy $u(x)+w(x)=1$, więc suma ma stopień $0$.

Niech współczynnik wielomianu $w$ przy $x^k$ będzie równy $b_k$. W wielomianie zerowym każdy współczynnik jest równy $0$, zatem z warunku $u+w\equiv0$ wynika

$$a_k+b_k=0$$

dla każdego $k=0,1,\ldots,n$. Stąd $b_k=-a_k$, czyli

$$w(x)=-a_nx^n-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots-a_1x-a_0=-u(x).$$