NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 52

a) Najwyższą potęgą w wielomianie $v$ jest $x^3$, więc to on ma stopień trzeci. Po uporządkowaniu:

$$v(x)=x^3-6x^2+4.$$

Zatem

$$a_3=1,\qquad a_2=-6,\qquad a_1=0,\qquad a_0=4.$$

b) Najwyższą potęgą w wielomianie $w$ jest $x^5$. Porządkujemy go:

$$w(x)=-6x^5+4x^4-3x^3+2x-1.$$

Współczynniki są równe

$$a_5=-6,\quad a_4=4,\quad a_3=-3,\quad a_2=0, \quad a_1=2,\quad a_0=-1.$$

Ich suma wynosi

$$-6+4-3+0+2-1=-4.$$

Podstawiamy kolejno cztery podane argumenty.

a)

$$w(0)=-3,\quad w(2)=24+4-4-3=21,$$ $$w(-2)=-24+4+4-3=-19,$$ $$w\left(\frac12\right)=\frac38+\frac14-1-3=-\frac{27}{8}.$$

b)

$$w(0)=2,\quad w(2)=-16+4-10+2=-20,$$ $$w(-2)=16+4+10+2=32,$$ $$w\left(\frac12\right)=-\frac14+\frac14-\frac52+2=-\frac12.$$

c)

$$w(0)=-4,\quad w(2)=8-16+6-4=-6,$$ $$w(-2)=-8-16-6-4=-34,$$ $$w\left(\frac12\right)=\frac18-1+\frac32-4=-\frac{27}{8}.$$

d)

$$w(0)=-10,\quad w(2)=-16+40-8-10=6,$$ $$w(-2)=-16-40+8-10=-58,$$ $$w\left(\frac12\right)=-\frac1{16}+\frac58-2-10 =-\frac{183}{16}.$$

Druga współrzędna punktu wykresu jest wartością wielomianu dla jego pierwszej współrzędnej. Obliczamy:

$$a=w(1)=1-\frac32-\frac{11}{2}+3+4=1,$$ $$b=w(-1)=1+\frac32-\frac{11}{2}-3+4=-2,$$ $$c=w(2)=16-12-22+6+4=-8,$$ $$d=w(3)=81-\frac{81}{2}-\frac{99}{2}+9+4=4.$$

Punkt $(x_0,y_0)$ należy do wykresu dokładnie wtedy, gdy $u(x_0)=y_0$.

a)

$$u(-2)=2\cdot(-8)-3\cdot4-5\cdot(-2)+1=-17\ne7,$$

więc $P$ nie należy do wykresu. Natomiast

$$u(2)=2\cdot8-3\cdot4-5\cdot2+1=-5,$$

zatem punkt $Q(2,-5)$ należy do wykresu.

b)

$$u\left(\frac12\right) =4\cdot\frac18-2\cdot\frac14+3\cdot\frac12+\frac12=2,$$

więc $P$ należy do wykresu. Z kolei

$$u\left(-\frac12\right) =4\left(-\frac18\right)-2\cdot\frac14 +3\left(-\frac12\right)+\frac12=-2\ne-1,$$

czyli $Q$ nie należy do wykresu.

W każdym podpunkcie podstawiamy podany argument do wzoru wielomianu.

a)

$$w(1)=a+1+1=3 \iff a=1.$$

b)

$$w(3)=3\cdot27-9+a=0 \iff 72+a=0 \iff a=-72.$$

c)

$$w(-4)=-64+16a+3=3 \iff 16a=64 \iff a=4.$$

d)

$$w(2)=16a+8+2=-6 \iff 16a=-16 \iff a=-1.$$

a) Z warunków $w(-1)=4$ i $w(2)=20$ otrzymujemy

$$3+a-b+2=4,$$ $$-24+4a+2b+2=20.$$

Po uproszczeniu:

$$\begin{cases} a-b=-1,\\ 2a+b=21. \end{cases}$$

Dodając równania, dostajemy $3a=20$, więc

$$a=\frac{20}{3},\qquad b=a+1=\frac{23}{3}.$$

b) Podstawienia $x=-3$ i $x=1$ dają

$$83-27a+9b=11, \qquad 3+a+b=7.$$

Zatem

$$\begin{cases} -3a+b=-8,\\ a+b=4. \end{cases}$$

Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy $4a=12$, czyli

$$a=3,\qquad b=1.$$

a) Współczynnik przy $x^5$ znika, gdy

$$m^2-4=0 \iff m=-2\ \text{lub}\ m=2.$$

Dla $m\notin\{-2,2\}$ wielomian ma stopień $5$.

Dla $m=2$ otrzymujemy

$$w(x)=4x^3+x,$$

więc stopień wynosi $3$. Dla $m=-2$ znika również współczynnik przy $x^3$, zatem $w(x)=x$ ma stopień $1$.

b) Współczynnik przy $x^6$ jest równy

$$m^2+4m=m(m+4),$$

więc znika dla $m=0$ lub $m=-4$. Dla pozostałych wartości stopień wynosi $6$.

Dla $m=-4$ mamy $w(x)=-4x^4-x^2$, czyli stopień $4$. Dla $m=0$ otrzymujemy $w(x)=-x^2$, czyli stopień $2$.

Oznaczmy $a_0=t$. Z warunku o kolejnych współczynnikach wynika

$$a_1=2t,\qquad a_2=4t,\qquad a_3=8t,\qquad a_4=16t.$$

Ich suma jest równa $1$, więc

$$t+2t+4t+8t+16t=1,$$ $$31t=1 \iff t=\frac1{31}.$$

Po wpisaniu współczynników od najwyższej potęgi otrzymujemy

$$w(x)=\frac{16}{31}x^4+\frac8{31}x^3+\frac4{31}x^2 +\frac2{31}x+\frac1{31}.$$

Jeżeli

$$w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,$$

to po podstawieniu $x=1$ otrzymujemy

$$w(1)=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0,$$

czyli dokładnie sumę wszystkich współczynników wielomianu.

a) Nie trzeba rozwijać iloczynu. Jego suma współczynników wynosi

$$w(1)=(1^3-27)(2\cdot1^2+11\cdot1)(1^2-1)=0.$$

b) Analogicznie

$$w(1)=(2\cdot1^3-5\cdot1+2)^{101}=(-1)^{101}=-1.$$