NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 36

Niech $x>0$ oznacza szerokość pasa. Basen wraz z pasem tworzy prostokąt o wymiarach $(4+2x)$ m i $(8+2x)$ m. Pole samego pasa jest różnicą pól:

$$(4+2x)(8+2x)-4\cdot8=45.$$

Po rozwinięciu:

$$4x^2+24x-45=0.$$

Wyróżnik jest równy

$$\Delta=24^2-4\cdot4\cdot(-45)=1296, \qquad \sqrt\Delta=36.$$

Zatem

$$x_1=-7{,}5,\qquad x_2=1{,}5.$$

Pierwszy pierwiastek odrzucamy, ponieważ szerokość pasa musi być dodatnia.

a) Przy cenie $x$ zł zmiana ceny względem $15$ zł wynosi $x-15$. Roczna sprzedaż jest zatem równa

$$s(x)=1000-50(x-15)=1750-50x.$$

Zysk ze sprzedaży jednej sztuki wynosi $(x-10)$ zł, więc

$$z(x)=(x-10)(1750-50x) =-50x^2+2250x-17500.$$

W rozważanym modelu cena nie jest niższa od kosztu produkcji, a sprzedaż nie może być ujemna, dlatego $x\in[10;35]$.

b) Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc największa wartość funkcji występuje w wierzchołku paraboli:

$$x_w=-\frac{2250}{2\cdot(-50)}=22{,}5.$$

Dla tej ceny

$$s(22{,}5)=1750-50\cdot22{,}5=625,$$

a roczny zysk wyniesie

$$z(22{,}5)=(22{,}5-10)\cdot625=7812{,}50\ \text{zł}.$$