NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 37

Początkowe pole placu wynosi

$$12\cdot18=216\ \text{m}^2.$$

Po zwiększeniu wymiarów pole ma być równe $216+144=360\ \text{m}^2$, zatem

$$(12+x)(18+2x)=360.$$

Po rozwinięciu i podzieleniu przez $2$ otrzymujemy

$$x^2+21x-72=0,$$

czyli

$$(x-3)(x+24)=0.$$

Ponieważ wymiary zwiększono, $x>0$, więc odrzucamy $x=-24$.

Niech $r$ oznacza jednakową szerokość ramy. Wymiary reprodukcji są wtedy równe $x-2r$ oraz $y-2r$, zatem

$$(x-2r)(y-2r)=P.$$

a) Otrzymujemy

$$(80-2r)(60-2r)=2400.$$

Po uporządkowaniu:

$$r^2-70r+600=0,$$

czyli $(r-10)(r-60)=0$. Wartość $r=60$ jest niemożliwa, ponieważ szerokość ramy musi być mniejsza od połowy krótszego wymiaru. Zatem $r=10$ cm.

b) Mamy

$$(75-2r)(55-2r)=2700,$$

czyli

$$4r^2-260r+1425=0.$$

Stąd

$$r=\frac{65\pm20\sqrt7}{2}.$$

Większy pierwiastek przekracza połowę krótszego wymiaru, więc

$$r=\frac{65-20\sqrt7}{2}\ \text{cm}\approx6{,}04\ \text{cm}.$$

Pole trawnika wynosi $4\cdot8=32\ \text{m}^2$. Z rysunku odczytujemy szerokości pasa kostki.

Propozycja A

Wymiary całego prostokąta są równe $8+4x$ oraz $4+2x$. Jego pole jest sumą pola trawnika i $66\ \text{m}^2$ kostki:

$$(8+4x)(4+2x)=32+66.$$

Po uporządkowaniu:

$$4x^2+16x-33=0,$$

czyli $(2x-3)(2x+11)=0$. Ponieważ $x>0$, otrzymujemy $x=\frac32$ m.

Propozycja B

Wymiary zewnętrzne wynoszą $8+2x$ oraz $4+4x$. Zatem

$$(8+2x)(4+4x)=32+78.$$

Po uporządkowaniu:

$$4x^2+20x-39=0,$$

czyli $(2x-3)(2x+13)=0$. Dodatnim rozwiązaniem ponownie jest $x=\frac32$ m.

Niech $n$ oznacza liczbę obniżek ceny o $5$ zł. Po takich obniżkach zysk z jednej bluzy wynosi $40-5n$ zł, a dzienna sprzedaż $16+4n$ sztuk. Dzienny zysk jest więc równy

$$Z(n)=(40-5n)(16+4n)=-20n^2+80n+640.$$

Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej:

$$Z(n)=-20(n-2)^2+720.$$

Największy zysk występuje dla $n=2$. Odpowiada to obniżce $2\cdot5\ \text{zł}=10\ \text{zł}$.

Nowy prostokąt ma wymiary $21+x$ oraz $4+x$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$(21+x)^2+(4+x)^2=25^2.$$

Po rozwinięciu i podzieleniu przez $2$:

$$x^2+25x-84=0,$$

czyli

$$(x-3)(x+28)=0.$$

Ponieważ oba wymiary zwiększono, przyjmujemy $x>0$ i odrzucamy $x=-28$.

Po zwiększeniu wymiarów boki mają długości $3+x$ oraz $10+x$, przy czym $x>0$. Warunek na przekątną ma postać

$$(3+x)^2+(10+x)^2>13^2.$$

Po uporządkowaniu:

$$2x^2+26x-60>0,$$

czyli

$$(x+15)(x-2)>0.$$

Nierówność zachodzi dla $x<-15$ lub $x>2$. Po uwzględnieniu warunku $x>0$ pozostaje $x>2$.

Niech $x$ oznacza szerokość pokoju. Jego długość jest wtedy równa $x+2$, przy czym $x>0$. Jeżeli $d$ oznacza przekątną, to

$$d^2=x^2+(x+2)^2=2x^2+4x+4.$$

Warunek $6\leqslant d\leqslant10$ jest równoważny

$$36\leqslant2x^2+4x+4\leqslant100.$$

Z pierwszej nierówności:

$$x^2+2x-16\geqslant0,$$

więc przy $x>0$ mamy $x\geqslant\sqrt{17}-1$. Z drugiej:

$$x^2+2x-48\leqslant0,$$

czyli przy $x>0$ mamy $x\leqslant6$. Ostatecznie

$$x\in[\sqrt{17}-1;6].$$