NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 34

Zapisujemy

$$f(x)=-(x-2)^2+3,qquad g(x)=\frac12(x+1)^2-\frac72.$$

a) Na $[0,4]$: $f(0)=f(4)=-1$, $f(2)=3$. Wierzchołek $g$ leży poza przedziałem, a $g(0)=-3$, $g(4)=9$.

b) Na $[-4,6]$: $f(-4)=-33$, $f(2)=3$, $f(6)=-13$; $g(-4)=1$, $g(-1)=-\frac72$, $g(6)=21$.

Niech przyprostokątne mają długości $x$ i $8-x$, gdzie $0<x<8$.

a)

$$P(x)=\frac12x(8-x)=-\frac12(x-4)^2+8,$$

więc największe pole wynosi $8$ dla $x=4$.

b)

$$c^2=x^2+(8-x)^2=2(x-4)^2+32,$$

więc najmniejsza wartość $c^2$ wynosi $32$, także dla $x=4$.

Niech boki rabaty mają długości $x,y$. Siatka jest o $4$ m krótsza od obwodu, więc

$$2x+2y-4=80 \iff x+y=42.$$

Pole

$$P(x)=x(42-x)=-(x-21)^2+441$$

jest największe dla $x=21$, $y=21$.

Niech $x$ oznacza bok prostopadły do ściany, a $y$ — bok równoległy. Panele obejmują trzy boki, więc $2x+y=28$. Zatem

$$P(x)=x(28-2x)=-2(x-7)^2+98.$$

Maksimum występuje dla $x=7$, a wtedy $y=14$.

Niech boki podstawy mają długości $x$ i $y$. Z warunku na obwód:

$$2x+2y=12,$$

czyli $x+y=6$ oraz $y=6-x$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wysokości $5$ cm wynosi

$$S=2xy+10x+10y.$$

Ponieważ $x+y=6$, otrzymujemy

$$S(x)=2x(6-x)+60=-2(x-3)^2+78, \qquad x\in(0;6).$$

Największa wartość jest osiągana dla $x=3$, a wtedy $y=3$.

Niech krótszy bok podstawy ma długość $x$, dłuższy $2x$, a wysokość prostopadłościanu $h$. Szkielet składa się z czterech krawędzi każdego rodzaju, zatem

$$4(x+2x+h)=56.$$

Stąd

$$h=14-3x,\qquad x\in\left(0;\frac{14}{3}\right).$$

Pole powierzchni całkowitej jest równe

$$S=2(2x^2+xh+2xh)=4x^2+6xh.$$

Po podstawieniu wysokości:

$$S(x)=4x^2+6x(14-3x) =-14x^2+84x =-14(x-3)^2+126.$$

Maksimum występuje dla $x=3$. Wtedy $2x=6$ oraz $h=5$.

a) Niech $y$ oznacza szerokość prostokąta. Z podobieństwa całego trójkąta o przyprostokątnych $2$ i $4$ oraz małego trójkąta po prawej:

$$\frac{x}{4-y}=\frac24.$$

Stąd $y=4-2x$, więc

$$P(x)=x(4-2x)=-2(x-1)^2+2, \qquad x\in(0;2).$$

Maksimum występuje dla $x=1$, a wtedy $y=2$.

b) Szerokość przekroju trójkąta na wysokości $x$ wyznaczamy z podobieństwa trójkątów:

$$\frac{y}{24}=\frac{8-x}{8}.$$

Zatem $y=24-3x$, a

$$P(x)=x(24-3x)=-3(x-4)^2+48, \qquad x\in(0;8).$$

Maksimum występuje dla $x=4$, a wtedy $y=12$.

a) Mianownik zapisujemy jako

$$x^2-4x+8=(x-2)^2+4.$$

W przedziale $[1;4]$ jego najmniejsza wartość to $4$ dla $x=2$, a największa to $8$ dla $x=4$. Po wzięciu odwrotności:

$$f_{\max}=\frac14,\qquad f_{\min}=\frac18.$$

b) Pod pierwiastkiem mamy

$$-x^2+4x+4=8-(x-2)^2.$$

W przedziale $[0;4]$ wyrażenie to ma maksimum $8$ dla $x=2$ oraz minimum $4$ dla $x=0$ i $x=4$. Funkcja pierwiastkowa jest rosnąca, więc

$$f_{\max}=2\sqrt2,\qquad f_{\min}=2.$$

c) Wyrażenie pod pierwiastkiem ma postać

$$-5x^2-10x+4=9-5(x+1)^2.$$

W przedziale $[-2;0]$ przyjmuje maksimum $9$ dla $x=-1$ oraz minimum $4$ dla $x=-2$ i $x=0$. Funkcja $t\mapsto1/\sqrt t$ jest malejąca, zatem

$$f_{\min}=\frac13,\qquad f_{\max}=\frac12.$$

d) Niech

$$q(x)=x^2-6x+3=(x-3)^2-6.$$

Dla $x\in[1;5]$ mamy $q(x)\in[-6;-2]$. Najmniejszy moduł, równy $2$, występuje dla $x=1$ i $x=5$, a największy, równy $6$, dla $x=3$. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy minimum $4$ i maksimum $36$.