NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 334

Najpierw upraszczamy podaną wartość:

$$\frac{2^{3+2\sqrt3}}{4^{\sqrt3}} =\frac{2^{3+2\sqrt3}}{(2^2)^{\sqrt3}} =2^{3+2\sqrt3-2\sqrt3}=2^3=8.$$

Jeżeli szukana liczba jest równa $x$, to

$$80\%\cdot x=8,$$

czyli

$$\frac45x=8\iff x=8\cdot\frac54=10.$$

Zapisujemy obie strony równania jako potęgi liczby $2$:

$$8=2^3, \qquad \left(\sqrt[4]{2}\right)^n =\left(2^{\frac14}\right)^n=2^{\frac n4}.$$

Równość potęg o tej samej podstawie daje

$$\frac n4=3,$$

więc $n=12$. Rozkład na czynniki pierwsze ma postać

$$12=2^2\cdot3^1.$$

Liczba dodatnich dzielników naturalnych liczby $12$ jest zatem równa

$$(2+1)(1+1)=6.$$

Ponieważ punkt $P\left(8,\frac32\right)$ leży na wykresie, jego współrzędne spełniają wzór funkcji:

$$\log_a8=\frac32.$$

Po przejściu do postaci wykładniczej otrzymujemy

$$a^{\frac32}=8.$$

Podnosimy obie strony do potęgi $\frac23$:

$$a=8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4.$$

Otrzymana liczba spełnia warunki podstawy logarytmu.

Obliczamy występujące logarytmy:

$$\log_9 3=\frac12, \qquad \log_3 9=2, \qquad \log_3 81=4.$$

Lewa strona równości jest więc równa

$$4\log_9 3+9\log_3 9 =4\cdot\frac12+9\cdot2 =2+18=20.$$

Prawa strona ma wartość

$$5\log_3 81=5\cdot4=20.$$

Obie strony są równe $20$, co dowodzi podanej równości.

Korzystamy z własności logarytmu iloczynu i ilorazu. Wszystkie jego argumenty są dodatnie, zatem

$$\log_2\sqrt6+\log_2\sqrt8-\log_2\sqrt3 =\log_2\frac{\sqrt6\cdot\sqrt8}{\sqrt3}.$$

Upraszczamy argument:

$$\frac{\sqrt6\cdot\sqrt8}{\sqrt3} =\sqrt{\frac{6\cdot8}{3}} =\sqrt{16}=4.$$

Wobec tego całe wyrażenie jest równe

$$\log_2 4=2.$$

Liczba $2$ jest wymierna, więc teza została uzasadniona.

Podstawiamy współrzędne punktu $P$ do wzoru funkcji:

$$f\left(-\frac12\right)=a^{-\frac12}-3=-1.$$

Stąd

$$a^{-\frac12}=2 \iff \frac1{\sqrt a}=2 \iff \sqrt a=\frac12 \iff a=\frac14.$$

Zatem

$$f(-5)=\left(\frac14\right)^{-5}-3 =4^5-3=1024-3=1021.$$

Mamy

$$g(x)=9\cdot3^x=3^{x+2}=f(x+2).$$

Wykres $g$ otrzymujemy więc z wykresu $f$ przez przesunięcie o dwie jednostki w lewo. Oba wykresy są rosnące, przechodzą odpowiednio przez $(0,1)$ i $(0,9)$ oraz mają asymptotę $y=0$.

Dla punktu $P$ zachodzi

$$3^{x_P}=100,$$

czyli $x_P=\log_3 100$. Dla punktu $Q$ mamy

$$9\cdot3^{x_Q}=100 \iff 3^{x_Q+2}=100,$$

zatem

$$x_Q=\log_3 100-2.$$

Punkty $P$ i $Q$ leżą na tej samej prostej poziomej $y=100$, więc

$$|PQ|=|x_P-x_Q|=2.$$

Obliczamy długości przyprostokątnych:

$$a=\log_{\frac12}2^{-5}=5,$$

bo $\left(\frac12\right)^5=2^{-5}$, oraz

$$b=\log_3 3^{15}-\log_3 27=15-3=12.$$

Z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej $c$ wynosi

$$c=\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{25+144}=13.$$

Obwód trójkąta jest więc równy

$$a+b+c=5+12+13=30.$$

Najpierw wyznaczamy $p$. Ponieważ

$$\log_{\frac12}\frac18=3, \qquad \log_{\frac12}\frac12=1,$$

pierwsze równanie przyjmuje postać

$$3x=1,$$

zatem $p=\frac13$.

W drugim równaniu przekształcamy potęgi liczby $2$:

$$4^6x-2^{10}=4\cdot2^8 \iff 2^{12}x-2^{10}=2^{10}.$$

Stąd

$$2^{12}x=2\cdot2^{10}=2^{11},$$

więc $q=\frac12$.

Szukana suma jest równa

$$\frac1{p^2}+\frac1{q^2} =\frac1{\left(\frac13\right)^2} +\frac1{\left(\frac12\right)^2} =9+4=13.$$

Wyznaczamy parametry funkcji:

$$a=\log_9\sqrt3 =\log_{3^2}3^{\frac12}=\frac14, \qquad b=\log_3\frac19=\log_3 3^{-2}=-2.$$

Zatem

$$f(x)=\left(\frac14\right)^x-2.$$

Wykres otrzymujemy z malejącego wykresu $y=\left(\frac14\right)^x$ przez przesunięcie o dwie jednostki w dół. Jego asymptotą poziomą jest $y=-2$, a zbiorem wartości $(-2;\infty)$. Do szkicu wyznaczamy punkty

$$f(-1)=2, \qquad f(0)=-1, \qquad f(1)=-\frac74.$$

Miejsce zerowe spełnia

$$\left(\frac14\right)^x-2=0 \iff 2^{-2x}=2^1 \iff x=-\frac12.$$