NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 333

Ponieważ $\sqrt2<\sqrt3$, po odwróceniu dodatnich liczb otrzymujemy

$$x_1=\frac1{\sqrt2}>\frac1{\sqrt3}=x_2.$$

Funkcję można zapisać jako

$$f(x)=\left(\frac13\right)^x.$$

Jej podstawa należy do $(0;1)$, więc $f$ jest malejąca. Z nierówności $x_1>x_2$ wynika zatem $f(x_1)<f(x_2)$.

Dla $a=4$ korzystamy z logarytmu iloczynu:

$$x+y =\log_4(\sqrt3+1)+\log_4(\sqrt3-1) =\log_4\bigl((\sqrt3+1)(\sqrt3-1)\bigr).$$

Iloczyn jest różnicą kwadratów:

$$(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)=3-1=2.$$

Zatem

$$x+y=\log_4 2=\frac12,$$

co należało uzasadnić.

Korzystamy z różnicy logarytmów:

$$x-y=\log_a\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}.$$

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$$\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1} =\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1} =\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3.$$

Warunek $x-y=1$ przyjmuje więc postać

$$\log_a(2+\sqrt3)=1,$$

z której wynika $a=2+\sqrt3$.

Funkcja ma dziedzinę $(-3;\infty)$ i asymptotę pionową $x=-3$. Ponadto

$$f(0)=\log_2 3-3\approx-1{,}42$$

oraz

$$f(x)=0 \iff\log_2(x+3)=3 \iff x=5.$$

Na skanie tylko wykres B ma asymptotę $x=-3$, przecina oś $OY$ poniżej $-1$ i oś $OX$ dla $x=5$.

Obliczamy obie wartości:

$$f(1)=\log_2 4-3=2-3=-1,$$ $$f(13)=\log_2 16-3=4-3=1.$$

Zatem

$$f(1)-f(13)=-1-1=-2.$$