NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 335

Korzystamy z zależności

$$\frac1{\log_c d}=\log_d c.$$

Pierwszy składnik ma więc postać

$$\frac1{\log_4 3}=\log_3 4 =\log_3 2^2=2\log_3 2=2a.$$

Dla drugiego składnika otrzymujemy

$$\frac1{\log_{2\sqrt2}9} =\log_9(2\sqrt2) =\log_{3^2}2^{\frac32} =\frac{\frac32}{2}\log_3 2 =\frac34a.$$

Zatem

$$2a+\frac34a=\frac{11}{4}a.$$

Ze wzoru na zmianę podstawy wynika

$$\log_2 3=\log_2 5\cdot\log_5 3=ab.$$

Ponadto

$$\log_4 36 =\frac{\log_2 36}{\log_2 4} =\frac{\log_2(6^2)}2 =\log_2 6.$$

Stąd

$$\log_4 36 =\log_2 2+\log_2 3 =1+ab.$$

Oba składniki po lewej stronie są równe $7^m$:

$$(\sqrt7)^{2m}=\left(7^{\frac12}\right)^{2m}=7^m, \qquad \left(\frac17\right)^{-m}=7^m.$$

Równanie ma więc postać

$$2\cdot7^m=98 \iff 7^m=49=7^2,$$

zatem $m=2$. Szukana funkcja to

$$f(x)=2^x-4.$$

Jej wykres otrzymujemy z wykresu $y=2^x$ przez przesunięcie o cztery jednostki w dół. Jest rosnący, ma asymptotę poziomą $y=-4$ i przechodzi między innymi przez punkty

$$(0,-3),\quad(1,-2),\quad(2,0),\quad(3,4).$$

Zbiorem wartości jest $(-4;\infty)$.

Ze skanu odczytujemy $P=(-1,-2)$. Dane te pozwalają kontrolnie wyznaczyć podstawę:

$$f(-1)=\log_p4=-2 \iff p^{-2}=4 \iff p=\frac12.$$

Do wyznaczenia miejsc zerowych wartość $p$ nie jest jednak potrzebna, ponieważ logarytm jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego argument jest równy $1$.

Dla funkcji $f$ mamy

$$f(x)=0 \iff \log_p(-4x)=0 \iff -4x=1 \iff x=-\frac14.$$

Dla $g(x)=f(x+2)$ otrzymujemy

$$g(x)=0 \iff -4(x+2)=1 \iff x+2=-\frac14 \iff x=-\frac94.$$

Obie wartości należą do odpowiednich dziedzin: $x<0$ dla $f$ oraz $x<-2$ dla $g$.

Najpierw obliczamy współrzędne danego punktu. Ponieważ

$$\left(\frac14\right)^{-4}=4^4=256,$$

to $p=-4$. Ponadto $2\sqrt2=2^{\frac32}$ i $64=2^6$, zatem

$$q=\log_{2\sqrt2}64 =\log_{2^{\frac32}}2^6=4.$$

Punkt $(-4,4)$ należy do wykresu $f(x)=a^x$, więc

$$a^{-4}=4 \iff a^4=\frac14.$$

Podstawa funkcji wykładniczej jest dodatnia, stąd

$$a=\sqrt[4]{\frac14}=2^{-\frac12}=\frac1{\sqrt2}.$$

Obliczamy teraz

$$f(-6)=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{-6} =(\sqrt2)^6=8,$$ $$f(-2)=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{-2} =(\sqrt2)^2=2.$$

Zatem $n=8-2=6$. Dodatnie dzielniki liczby $6$ mniejsze od niej samej to $1,2,3$, a

$$1+2+3=6.$$

Liczba $n$ jest więc doskonała.

Najpierw wyznaczamy dziedzinę:

$$\frac{x+1}{x-1}>0.$$

Iloraz jest dodatni dla $x<-1$ lub $x>1$, zatem

$$D_f=(-\infty;-1)\cup(1;\infty).$$

Jeżeli $x_1+x_2=0$, to $x_2=-x_1$. Dla argumentu należącego do dziedziny mamy

$$f(-x_1) =\log_2\frac{-x_1+1}{-x_1-1} =\log_2\frac{x_1-1}{x_1+1}.$$

Ostatni argument jest odwrotnością argumentu w $f(x_1)$, więc

$$f(-x_1) =\log_2\left(\frac{x_1+1}{x_1-1}\right)^{-1} =-\log_2\frac{x_1+1}{x_1-1} =-f(x_1).$$

Ponieważ $x_2=-x_1$, otrzymujemy

$$f(x_1)+f(x_2)=f(x_1)-f(x_1)=0.$$

W całym przedziale $[-3;1]$ oba argumenty logarytmów są dodatnie. Łączymy logarytmy:

$$f(x)=\log_3\bigl((x+4)(2-x)\bigr).$$

Iloczyn pod logarytmem zapisujemy w postaci kanonicznej:

$$(x+4)(2-x)=-x^2-2x+8=9-(x+1)^2.$$

Ponieważ $(x+1)^2\geqslant0$, największa wartość tego iloczynu wynosi $9$ i jest osiągana dla $x=-1$. Punkt $-1$ należy do przedziału $[-3;1]$. Funkcja logarytmiczna o podstawie $3$ jest rosnąca, zatem

$$\max_{x\in[-3;1]} f(x)=\log_3 9=2.$$

Logarytm jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jego argument jest równy $1$. Rozwiązujemy więc równanie

$$x^2+4x-5=1,$$

czyli

$$x^2+4x-6=0.$$

Jego wyróżnik wynosi

$$\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-6)=40,$$

więc

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{40}}2=-2\pm\sqrt{10}.$$

Dla obu otrzymanych liczb argument logarytmu jest równy $1>0$, zatem obie należą do dziedziny funkcji.

Z podanych założeń wynika, że oba logarytmy istnieją. Ponadto $b\ne1$, więc $\log_a b\ne0$. Korzystamy z własności logarytmów:

$$\log_a b^2=2\log_a b$$

oraz

$$\log_b\sqrt[3]{a} =\frac13\log_b a =\frac1{3\log_a b}.$$

Ich iloczyn jest zatem równy

$$2\log_a b\cdot\frac1{3\log_a b}=\frac23.$$

Wartość nie zależy od $a$ ani od $b$, a więc jest stała.

Warunek, że $x=1$ jest miejscem zerowym, ma postać

$$f(1)=0.$$

Zatem

$$2-\left|\log_a2+1\right|=0 \iff \left|\log_a2+1\right|=2.$$

Rozpatrujemy dwa przypadki:

$$\log_a2+1=2 \iff \log_a2=1 \iff a=2,$$

albo

$$\log_a2+1=-2 \iff \log_a2=-3 \iff a^{-3}=2 \iff a=2^{-\frac13}.$$

Obie liczby są dodatnie i różne od $1$, więc są dopuszczalnymi podstawami logarytmu. Dla każdej z nich moduł jest równy $2$, a funkcja przyjmuje postać $2^x-2$, której jedynym miejscem zerowym jest $x=1$.