NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 332

Upraszczamy argument:

$$\left(\sqrt[6]{81}\right)^{\frac32} =\left(3^{\frac23}\right)^{\frac32}=3,$$

więc $x=-3$. Zatem

$$f(-3)=10^{-2\cdot(-3)}=10^6=1\,000\,000.$$

Ta liczba należy do przedziału $(10\,000;\infty)$.

Zapisujemy liczbę dziesiętną jako iloraz potęg:

$$31{,}25=\frac{125}{4}=\frac{5^3}{2^2}.$$

Korzystając z definicji $a$ i $b$, otrzymujemy

$$\log_3 31{,}25 =3\log_3 5-2\log_3 2 =3b-2a.$$

Sprowadzamy obie liczby do potęg liczby $5$:

$$x=(5^2)^{\frac14}\cdot5^{\frac14}=5^{\frac34},$$ $$y=(5^3)^{\frac14}\cdot5^{-\frac12}=5^{\frac14}.$$

Zatem

$$xy=5^{\frac34+\frac14}=5$$

oraz

$$\frac{x}{y}=5^{\frac34-\frac14}=5^{\frac12}=\sqrt5.$$

Oba stwierdzenia są prawdziwe.

Dla dodatnich $x,y$ lewa strona obu równości jest równa

$$\log(x^2y^3)=2\log x+3\log y.$$

W pierwszym wierszu

$$2\log(xy)+\log y =2\log x+3\log y.$$

W drugim wierszu

$$\log x+2\log y+\log(xy) =2\log x+3\log y.$$

Obie równości są prawdziwe.

1. Miejsce zerowe spełnia

$$(\sqrt2)^x=8,$$

czyli

$$2^{\frac x2}=2^3\iff x=6.$$

Jest to odpowiedź C.

2. Na osi $OY$ mamy $x=0$, zatem

$$f(0)=(\sqrt2)^0-8=1-8=-7.$$

Punkt przecięcia to $(0,-7)$, czyli odpowiedź G.

Warunek dodatniości argumentu daje

$$x+4>0\iff x>-4,$$

więc $D_f=(-4;\infty)$. Miejsce zerowe spełnia

$$\log_2(x+4)=0 \iff x+4=1 \iff x=-3.$$

Gdy $x$ dąży do $-4$ z prawej strony, argument logarytmu dąży do zera, dlatego asymptotą pionową jest prosta $x=-4$.