NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 331

Sprawdzamy współrzędne z odpowiedzi C:

$$f\left(-\frac12\right)=4^{-\frac12}=\frac1{\sqrt4}=\frac12.$$

Zatem punkt $\left(-\frac12,\frac12\right)$ należy do wykresu. Pozostałe pary nie spełniają równania $y=4^x$.

Dla $x=-3$ otrzymujemy

$$f(-3)=\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8,$$

czyli liczbę całkowitą. Dla pozostałych odpowiedzi wartości wynoszą $\frac1{\sqrt2}$, $\frac14$ i $\frac1{1024}$, więc nie są liczbami całkowitymi.

Zapisujemy funkcję jako

$$f(x)=2^{\frac x2}.$$

Dla $x=-6$ mamy

$$f(-6)=2^{-3}=\frac18,$$

co jest liczbą wymierną. Wykładniki z A–C prowadzą do potęg liczby $2$ z niecałkowitym wykładnikiem połówkowym, a więc do liczb niewymiernych.

Funkcja wykładnicza $a^x$ jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy $a>1$. Spośród podanych podstaw tylko

$$\sqrt5-1>1,$$

bo $\sqrt5>2$. Pozostałe podstawy należą do przedziału $(0;1)$.

Dla funkcji z odpowiedzi A:

$$6^x-6=0\iff6^x=6\iff x=1>0.$$

Funkcje z B i D są zawsze dodatnie, a funkcja z C ma miejsce zerowe $x=-1$, które nie jest dodatnie.

Mamy

$$\sqrt2<1{,}5.$$

Funkcja $3^x$ jest rosnąca, więc

$$3^{\sqrt2}<3^{1{,}5}.$$

To potwierdza odpowiedź A. W B podstawa $0{,}5$ odwraca znak porównania, a C–D są fałszywe, ponieważ $\pi>3{,}141>3{,}14$.

Obliczamy wartości w odpowiedzi B:

$$\log_{\frac12}8=-3, \qquad \log_{\frac13}9=-2.$$

Zachodzi więc $-3<-2$. W A porównujemy $3<2$, w C obie strony są równe $-1$, a w D otrzymujemy fałszywą nierówność $0>1$.

Podstawiamy $x=8$ do wzoru z odpowiedzi B:

$$f(8)=\log_4(8-4)-4=\log_4 4-4=1-4=-3.$$

Zatem punkt $(8,-3)$ należy właśnie do tego wykresu.