NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 329

a) Jeżeli $A=1000A_0$, to

$$M=\log\frac{1000A_0}{A_0}=\log1000=3.$$

b) Oznaczmy amplitudy dwóch wstrząsów przez $A_1$ i $A_2$. Różnica ich wartości w skali Richtera wynosi

$$6{,}6-5{,}1 =\log\frac{A_1}{A_0}-\log\frac{A_2}{A_0} =\log\frac{A_1}{A_2}=1{,}5.$$

Zatem

$$\frac{A_1}{A_2}=10^{1{,}5}=10\sqrt{10}\approx31{,}6.$$

Podstawiamy podane stężenia do wzoru $\mathrm{pH}=-\log[\mathrm H^+]$.

a)

$$\mathrm{pH}=-\log(6{,}8\cdot10^{-5}) =5-\log6{,}8\approx4{,}1675\approx4{,}2.$$

Ponieważ $4{,}2<7$, sok ma odczyn kwasowy.

b)

$$\mathrm{pH}=-\log(4\cdot10^{-4}) =4-\log4\approx3{,}3979\approx3{,}4.$$

Jest to odczyn kwasowy.

c)

$$\mathrm{pH}=-\log(2{,}2\cdot10^{-9}) =9-\log2{,}2\approx8{,}6576\approx8{,}7.$$

Ponieważ $8{,}7>7$, woda morska ma odczyn zasadowy.

Po czasie $t$ masa próbki jest równa

$$m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{432}}.$$

Utrata $5\%$ masy oznacza, że pozostało $95\%$ masy początkowej, zatem

$$0{,}95m_0=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{432}}.$$

Po skróceniu przez $m_0$ i zlogarytmowaniu:

$$\frac{t}{432}=\log_{\frac12}0{,}95 =\frac{\log0{,}95}{\log0{,}5}.$$

Stąd

$$t=432\cdot\frac{\log0{,}95}{\log0{,}5} \approx31{,}97\ \text{roku}.$$