NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 328

Z definicji $a=\log_2 3$ oraz $2b=\log_2 5$.

a)

$$\log_3 1024=\frac{\log_2 1024}{\log_2 3}=\frac{10}{a},$$ $$\log_5 1024=\frac{\log_2 1024}{\log_2 5}=\frac5b.$$

Suma wynosi $\frac{10}{a}+\frac5b$.

b) Pierwszy iloczyn upraszczamy następująco:

$$\log_4 121\cdot\log_{11}27 =2\log_4 11\cdot3\log_{11}3 =6\log_4 3=3a.$$

Ponadto

$$\log_8 0{,}04=\log_8 5^{-2} =-\frac23\log_2 5=-\frac43b.$$

Zatem całe wyrażenie jest równe $3a+\frac43b$.

a) Ponieważ $3\sqrt3=3^{\frac32}$,

$$\log_{3\sqrt3}27=\frac{3}{\frac32}=2,$$

więc $3^{\log_{3\sqrt3}27}=3^2=9$.

b) Mamy $4\sqrt2=2^{\frac52}$ i $32=2^5$, zatem

$$\log_{4\sqrt2}32=2.$$

Stąd

$$(\sqrt[3]{4})^2=2^{\frac43}=2\sqrt[3]2.$$

c) Korzystamy z tożsamości $u^{\log_a v}=v^{\log_a u}$ dla liczb dodatnich:

$$5^{\log_3 7}=7^{\log_3 5}.$$

Różnica jest więc równa $0$.

a)

$$\log_4x=10^0=1,$$

zatem $x=4$.

b)

$$\log_4x=5^1=5,$$

więc $x=4^5=1024$.

c)

$$\log_4x=4^{\frac12}=2,$$

stąd $x=4^2=16$.

a)

$$g(x)=\left(\frac12\right)^{x-1}-1.$$

Wykres $f$ przesuwamy o $1$ w prawo i o $1$ w dół. Funkcja jest malejąca, ma asymptotę $y=-1$, przechodzi przez $(1,0)$ i ma zbiór wartości $(-1;\infty)$.

b)

$$g(x)=-\left(\frac12\right)^{x+2}.$$

Najpierw przesuwamy wykres $f$ o $2$ w lewo, a następnie odbijamy względem osi $OX$. Wykres przechodzi przez $(-2,-1)$, ma asymptotę $y=0$ i zbiór wartości $(-\infty;0)$.

c)

$$g(x)=-\left(\frac12\right)^{-x}=-2^x.$$

Odbijamy wykres $f$ względem osi $OY$, a potem względem osi $OX$. Wykres przechodzi przez $(0,-1)$, ma asymptotę $y=0$ i zbiór wartości $(-\infty;0)$.

a)

$$4\cdot2^{2x}-4\geqslant0 \iff2^{2x}\geqslant1 \iff x\geqslant0.$$

Wykres jest rosnący, ma asymptotę $y=-4$ i przecina oś $OX$ w punkcie $(0,0)$.

b) Upraszczamy wzór:

$$f(x)=2^{x-3}-2.$$

Zatem

$$2^{x-3}-2\geqslant0 \iff2^{x-3}\geqslant2 \iff x\geqslant4.$$

Asymptotą wykresu jest $y=-2$, a miejscem zerowym $x=4$.

c)

$$f(x)=3^{x+1}-3.$$

Stąd

$$3^{x+1}-3\geqslant0 \iff3^{x+1}\geqslant3 \iff x\geqslant0.$$

Wykres ma asymptotę $y=-3$ i miejsce zerowe $x=0$.

Warunek dodatniości argumentu wyznacza dziedzinę, a jego miejsce zerowe wyznacza asymptotę pionową.

a) $x-3>0$, więc $D_f=(3;\infty)$, a asymptotą jest $x=3$. Wykres $\log_6x$ przesuwamy o $3$ w prawo i o $1$ w dół.

b) $x+4>0$, więc $D_f=(-4;\infty)$, a asymptotą jest $x=-4$. Wykres jest malejący i przesunięty o $4$ w lewo oraz o $1$ w dół.

c) $x-2>0$, więc $D_f=(2;\infty)$, a asymptotą jest $x=2$. Wykres $\log_4(x-2)$ odbijamy względem osi $OX$.

d) $x+3>0$, więc $D_f=(-3;\infty)$, a asymptotą jest $x=-3$. Znak minus odbija wykres względem osi $OX$.

e) $-x>0$, więc $D_f=(-\infty;0)$, a asymptotą jest $x=0$. Wykres $\log_5x$ odbijamy względem osi $OY$ i przesuwamy o $1$ w dół.

f) $-x>0$, więc $D_f=(-\infty;0)$, a asymptotą jest $x=0$. Po odbiciu wykresu $\log_{\frac13}x$ względem osi $OY$ przesuwamy go o $1$ w górę.

Korzystamy z zależności $\frac{|u|}{u}=1$ dla $u>0$ oraz $\frac{|u|}{u}=-1$ dla $u<0$.

a) Musi zachodzić $x>0$ i $\log x\ne0$, zatem

$$D_f=(0;1)\cup(1;\infty).$$

Ponieważ $\log x<0$ dla $0<x<1$ i $\log x>0$ dla $x>1$,

$$f(x)=\begin{cases} -1,&0<x<1,\\ 1,&x>1. \end{cases}$$

b) Dziedzina jest taka sama: $D_f=(0;1)\cup(1;\infty)$. Logarytm o podstawie $0{,}5$ jest dodatni dla $0<x<1$ i ujemny dla $x>1$, więc

$$f(x)=\begin{cases} 1,&0<x<1,\\ -1,&x>1. \end{cases}$$

c) Warunki to $|x|>0$ i $\log|x|\ne0$, czyli

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}.$$

Dla $|x|>1$ logarytm jest dodatni, a dla $0<|x|<1$ ujemny. Zatem

$$f(x)=\begin{cases} 1,&x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty),\\ -1,&x\in(-1;0)\cup(0;1). \end{cases}$$

Wykresy składają się z odpowiednich poziomych półprostych lub odcinków bez punktów wykluczonych z dziedziny.

a) Warunek $1-x^3>0$ daje $D_f=(-\infty;1)$. Miejsce zerowe spełnia

$$1-x^3=1,$$

zatem $x=0$.

b) Z nierówności $x^2-1>0$ otrzymujemy $D_f=(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$. Dla miejsca zerowego

$$x^2-1=1\iff x^2=2,$$

więc $x=\pm\sqrt2$.

c) Argument ma być dodatni, stąd $D_f=\mathbb R\setminus\{-\frac32\}$. Równanie

$$|2x+3|=1$$

daje miejsca zerowe $x=-2$ i $x=-1$.

d) Trójmian $x^2+x+1$ jest dodatni dla każdego $x$, bo jego wyróżnik wynosi $-3$. Zatem $D_f=\mathbb R$. Miejsca zerowe spełniają

$$x^2+x+1=1\iff x(x+1)=0,$$

czyli $x=-1,0$.

e)

$$x^2-5x+4>0\iff(x-1)(x-4)>0,$$

więc $D_f=(-\infty;1)\cup(4;\infty)$. Miejsca zerowe wyznacza równanie

$$x^2-5x+4=1,$$ $$x^2-5x+3=0,$$

stąd $x=\frac{5-\sqrt{13}}2$ lub $x=\frac{5+\sqrt{13}}2$.

f) Warunek $|x^2-1|>0$ daje $D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Dla miejsca zerowego

$$\log|x^2-1|=1\iff|x^2-1|=10.$$

Równanie $x^2-1=10$ daje $x=\pm\sqrt{11}$, a przypadek $x^2-1=-10$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Punkty przecięcia wykresów i ich wzajemne położenie można wyznaczyć rachunkowo, co kontroluje odczyt ze szkicu.

a) Wspólna dziedzina to $x>0$. Ponieważ $\log_{0{,}5}x=-\log_2x$,

$$\log_2(x+1)\geqslant1-\log_2x,$$ $$\log_2\bigl(x(x+1)\bigr)\geqslant1.$$

Stąd $x^2+x\geqslant2$, czyli $(x-1)(x+2)\geqslant0$. Po przecięciu z dziedziną otrzymujemy $x\in[1;\infty)$. Na szkicu wykres $f$ leży od punktu przecięcia o odciętej $1$ nad wykresem $g$.

b) Wspólna dziedzina to $x>3$. Mamy

$$2-\log_3(x+3)\geqslant-1+\log_3(x-3),$$ $$3\geqslant\log_3(x^2-9).$$

Ponieważ podstawa $3$ jest większa od $1$,

$$x^2-9\leqslant27\iff x^2\leqslant36.$$

Po uwzględnieniu dziedziny dostajemy $x\in(3;6]$; na szkicu jest to odcinek od asymptoty $x=3$ do punktu przecięcia o odciętej $6$.

a) Dziedzina: $-1<x<3$. Warunek $f(x)=0$ daje

$$\log_3\frac{3-x}{x+1}=0,$$ $$\frac{3-x}{x+1}=1.$$

Stąd $3-x=x+1$, czyli $x=1$.

b) Dziedzina: $6<x<10$. Łączymy logarytmy:

$$\log_{\frac14}\bigl((x-6)(10-x)\bigr)=-1.$$

Zatem

$$(x-6)(10-x)=\left(\frac14\right)^{-1}=4.$$

Po podstawieniu $u=x-8$ lewa strona ma postać $4-u^2$. Równość $4-u^2=4$ daje $u=0$, czyli $x=8$.