NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 327

a)

$$49^{0{,}7}\cdot7^{-1{,}4}\cdot27^{\frac43} =7^{1{,}4}\cdot7^{-1{,}4}\cdot3^4=81.$$

b)

$$\sqrt[4]{32}\cdot10^{0{,}75}\cdot5^{\frac14} =2^{\frac54}(2\cdot5)^{\frac34}5^{\frac14} =2^2\cdot5=20.$$

c)

$$6^{-\frac12}\cdot2^{\frac52}\cdot27^{\frac12} =2^{-\frac12}3^{-\frac12}\cdot2^{\frac52}3^{\frac32} =2^2\cdot3=12.$$

a)

$$18^{\frac12}2^{\frac12}+3^{\frac12}27^{\frac12} =\sqrt{36}+\sqrt{81}=6+9=15.$$

b)

$$2^{\frac14}8^{\frac14}-16^{\frac13}\sqrt[3]{4} =2^{\frac14+\frac34}-\sqrt[3]{64}=2-4=-2.$$

c)

$$(3^{-0{,}75})^{-4}=3^3=27,$$ $$(9^{-1{,}5})^{\frac13}=9^{-\frac12}=\frac13.$$

Zatem wartość ilorazu wynosi $27:\frac13=81$.

a) Konieczne założenia: $x>0$ i $y\ne0$. Wtedy

$$\left(\frac19x^{\frac12}y^{\frac13}\right): \left(\frac1{27}x^{\frac32}y^{\frac43}\right) =3x^{-1}y^{-1}=\frac3{xy}.$$

b) Konieczne założenia: $x>0$ i $y>0$. Korzystając z różnicy kwadratów,

$$\left(\frac1{\sqrt x}+\frac1{\sqrt y}\right) \left(\frac1{\sqrt x}-\frac1{\sqrt y}\right) =\frac1x-\frac1y=\frac{y-x}{xy}.$$

c) Konieczne założenia: $a\ne0$ i $b>0$. Mamy

$$(a^{\frac13}b^{\frac16})^{-2} \cdot(a^{\frac13}b^{\frac23})^{-1} =a^{-\frac23}b^{-\frac13}a^{-\frac13}b^{-\frac23} =\frac1{ab}.$$

d) Konieczne założenia: $x>0$ i $y>0$. Odejmujemy wykładniki odpowiednich potęg:

$$x^{1{,}5-0{,}5}y^{-0{,}25-(-1{,}25)}=xy.$$

a)

$$x=(2^{-3})^{-2}=2^6=64,$$

natomiast

$$y=\sqrt{(2\sqrt5+2)(2\sqrt5-2)}=\sqrt{20-4}=4.$$

Zatem $x>y$.

b)

$$x=\sqrt{\frac3{12}}=\frac12,$$ $$y=9^{-\frac12}\cdot81^{\frac34} =\frac13\cdot(3^4)^{\frac34}=9.$$

Zatem $y>x$.

a)

$$\log_4(\log_2 16)=\log_4 4=1.$$

b)

$$\log_2(\log_4 16)=\log_2 2=1.$$

c)

$$\log_8(\log_4 2)=\log_8\frac12=-\frac13.$$

d)

$$\log_3(\log_8 2)=\log_3\frac13=-1.$$

e) Licząc od logarytmu wewnętrznego,

$$\log_3\sqrt3=\frac12, \quad\log_{\frac12}\frac12=1, \quad\log_6 1=0.$$

f) Podobnie

$$\log_{\frac12}\frac18=3, \quad\log_9 3=\frac12, \quad\log_8\frac12=-\frac13.$$

a) Korzystając z własności $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$, otrzymujemy

$$\log_3 6\cdot\log_6 8\cdot\log_8 9 =\log_3 9=2.$$

b) Po zmianie podstawy:

$$\frac{\log9}{\log6}\cdot \frac{\log8}{\log3}\cdot \frac{\log36}{\log2}.$$

Ponieważ $\log9=2\log3$, $\log8=3\log2$ i $\log36=2\log6$, wszystkie mianowniki się skracają, a wynik wynosi $2\cdot3\cdot2=12$.

Stosujemy wzór na zmianę podstawy i zapisujemy wynik jako jeden logarytm o podstawie $3$.

a)

$$\log_{27}8=\frac{\log_3 8}{\log_3 27} =\frac13\log_3 8=\log_3 2.$$

b)

$$\log_{\frac13}0{,}2 =\frac{\log_3(\frac15)}{\log_3(\frac13)} =-\log_3\frac15=\log_3 5.$$

c)

$$\log_{3\sqrt3}64 =\frac{\log_3 64}{\frac32} =\frac23\log_3 64=\log_3 16.$$

d)

$$\log_{\frac19}25 =\frac{\log_3 25}{-2} =\log_3\frac15.$$

Z zależności $p=\log_4 3$ wynika $\log_2 3=2p$.

a)

$$\log_3 64=\frac{\log_4 64}{\log_4 3}=\frac3p.$$

b)

$$\log_2 27=3\log_2 3=6p.$$

c)

$$\log_{\sqrt2}24=2\log_2 24 =2(\log_2 3+3)=4p+6.$$

a) Mamy $a=2$ oraz $b=8$, zatem

$$\sqrt{ab}=\sqrt{2\cdot8}=4.$$

b) Z równań wynika

$$a=2^5=32, \qquad b=4^{\frac12}=2.$$

Stąd

$$\sqrt{ab}=\sqrt{32\cdot2}=8.$$

a)

$$x=\left(\frac14\right)^{-2}=16.$$

b)

$$x=4^{\frac32}=8.$$

c)

$$x^2=\left(\frac18\right)^{\frac13}=\frac12,$$

więc $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

d) Ponieważ $2\sqrt2=2^{\frac32}$,

$$|x|=(2\sqrt2)^4=2^6=64,$$

zatem $x=\pm64$.

Korzystamy z własności logarytmu iloczynu, ilorazu i potęgi.

a)

$$\log_6x=\log_6(4\cdot9)=\log_6 36,$$

stąd $x=36$.

b)

$$\log_3x=\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9,$$

więc $x=9$.

c)

$$\log x=\log(5^2\cdot4)=\log100,$$

zatem $x=100$.

d)

$$\log x=\log\frac{80}{2^3}=\log10,$$

czyli $x=10$.