NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 326

Sprowadzamy czynniki do wspólnych podstaw.

a)

$$\frac{2^{-3}\cdot4^{-2}}{2^{-6}} =2^{-3-4+6}=2^{-1}=\frac12.$$

b)

$$\frac{10^{-2}}{5^{-6}\cdot25^2} =\frac{10^{-2}}{5^{-6+4}} =10^{-2}\cdot5^2=\frac14.$$

c)

$$\frac{6^4\cdot9^{-4}}{4^2\cdot12^{-1}} =\frac{(\frac23)^4}{\frac43} =\frac{16}{81}\cdot\frac34=\frac4{27}.$$

d)

$$\frac{16^{-2}\cdot125^{-3}}{10^{-4}\cdot25^{-2}} =\frac{2^{-8}5^{-9}}{2^{-4}5^{-8}} =2^{-4}5^{-1}=\frac1{80}.$$

a)

$$25^{\frac32}\cdot125^{-\frac13} =5^3\cdot5^{-1}=5^2=25.$$

b)

$$64^{-\frac12}\cdot8^{\frac53} =2^{-3}\cdot2^5=2^2=4.$$

c)

$$8^{\frac23}\cdot32^{-\frac35} =2^2\cdot2^{-3}=\frac12.$$

d)

$$0{,}001^{-\frac13}\cdot0{,}09^{\frac12} =(10^{-3})^{-\frac13}\cdot0{,}3 =10\cdot0{,}3=3.$$

a)

$$5^{\frac56}\cdot5^{\frac12}\cdot5^{-\frac43} =5^{\frac56+\frac36-\frac86}=5^0=1.$$

b)

$$2^{\frac13}\cdot2^{-\frac12}\cdot2^{\frac76} =2^{\frac26-\frac36+\frac76}=2.$$

c)

$$\sqrt[3]{100}\cdot5^{\frac13}\cdot2^{\frac43} =2^{\frac23}5^{\frac23}\cdot5^{\frac13}\cdot2^{\frac43} =2^2\cdot5=20.$$

d) Ponieważ $\sqrt{44}=2\sqrt{11}$,

$$\frac{11^{\frac32}}{\sqrt{44}}\left(\frac2{11}\right)^3 =\frac{11}{2}\cdot\frac8{11^3}=\frac4{121}.$$

Porównujemy wykładniki po sprowadzeniu liczb do dogodnej wspólnej podstawy.

a) Kolejne liczby mają postać

$$5^{\sqrt5},\quad5^{\frac52},\quad5^{\frac{12}{5}}, \quad5^{\frac{11}{5}},\quad5^{2\sqrt2}.$$

Ponieważ $\frac{11}{5}<\sqrt5<\frac{12}{5}<\frac52<2\sqrt2$, otrzymujemy żądaną kolejność.

b) Po zapisaniu przy podstawie $2$ wykładniki są odpowiednio

$$-\frac32,\quad-\frac34,\quad-1,\quad-\frac43,\quad-\sqrt3.$$

Korzystamy z $-\sqrt3<-\frac32<-\frac43<-1<-\frac34$.

c) Po zapisaniu przy podstawie $3$ wykładniki wynoszą

$$\frac23,\quad-\frac12,\quad\frac34,\quad-\frac23, \quad-\frac\pi2.$$

Ich rosnąca kolejność to $-\frac\pi2<-\frac23<-\frac12<\frac23<\frac34$.

d) Mamy

$$(\sqrt{0{,}4})^{\sqrt{12}}=0{,}4^{\sqrt3}, \quad2{,}5^{-2{,}4}=0{,}4^{2{,}4}, \quad0{,}064=0{,}4^3.$$

Ponieważ podstawa $0{,}4$ jest mniejsza od $1$, $0{,}4^3<0{,}4^{2{,}4}<0{,}4^{\sqrt3}$. Ponadto $4{,}5^{-2}=\frac4{81}<0{,}064$.

Oznaczmy $r=10^{0{,}1}\approx1{,}258925$. Wówczas

a)

$$10^{1{,}1}=10r\approx12{,}58925\approx12{,}5893.$$

b)

$$10^{-0{,}9}=10^{-1}r\approx0{,}1258925\approx0{,}1259.$$

c)

$$10^{-1{,}9}=10^{-2}r\approx0{,}01258925\approx0{,}0126.$$

d)

$$10^{-2{,}9}=10^{-3}r\approx0{,}001258925\approx0{,}0013.$$

Podstawiamy współrzędne punktu do równania $y=a^x$.

a)

$$a^{\frac52}=32=2^5\iff a=2^2=4.$$

Rysujemy rosnący wykres $y=4^x$, przechodzący przez $(0,1)$ i $P$, z asymptotą poziomą $y=0$.

b)

$$a^{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\iff a=\frac12.$$

Jest to malejący wykres $y=(\frac12)^x$, przechodzący przez $(0,1)$ i $P$, z asymptotą $y=0$.

c)

$$a^{-6}=729=3^6\iff a=\frac13.$$

Rysujemy malejący wykres $y=(\frac13)^x$, przechodzący przez $(0,1)$ i $P$, z asymptotą $y=0$.

Każdy wykres otrzymujemy przez przesunięcie lub odbicie wykresu podstawowej funkcji wykładniczej.

a) Asymptotą jest $y=-4$. Ponieważ $2^x>0$, zbiór wartości to $(-4;\infty)$. Miejsce zerowe spełnia $2^x=4$, więc $x=2$.

b) Jest to wykres $3^x$ przesunięty o $1$ w prawo i o $2$ w górę. Asymptota ma równanie $y=2$, zbiór wartości to $(2;\infty)$, a miejsc zerowych nie ma.

c) Asymptotą jest $y=-3$, a zbiór wartości to $(-3;\infty)$. Z równania $4^{x+2}=3$ otrzymujemy miejsce zerowe $x=\log_4 3-2$.

d) Odbicie wykresu $2^x$ względem osi $OX$ i przesunięcie o $4$ w górę daje asymptotę $y=4$ oraz zbiór wartości $(-\infty;4)$. Miejsce zerowe to $x=2$.

e) Asymptotą jest $y=2$, a zbiór wartości to $(2;\infty)$. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

f) Asymptotą jest $y=1$, a zbiór wartości to $(-\infty;1)$. Równanie $3^{-x}=1$ daje miejsce zerowe $x=0$.

a) $\log_3 27=3$.

b) $\log_{27}3=\frac13$.

c) $\log_3\frac1{243}=\log_3 3^{-5}=-5$.

d) $\log_{\frac1{27}}3=-\frac13$.

e) $\log_{\frac13}27=-3$.

f) $\log_{27}\sqrt3=\frac16$.

g) $\log_{\sqrt3}27=6$.

h)

$$\log_{27}(3\sqrt3)=\log_{3^3}3^{\frac32}=\frac12.$$

i)

$$\log_{\sqrt{27}}3=\log_{3^{\frac32}}3=\frac23.$$

j)

$$27^{\log_3 2}=3^{3\log_3 2}=2^3=8.$$

k)

$$(\sqrt{27})^{\log_3 2}=3^{\frac32\log_3 2}=2^{\frac32}=2\sqrt2.$$

l)

$$3^{1-\log_3 2}=\frac3{3^{\log_3 2}}=\frac32.$$