NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 325

W każdym podpunkcie korzystamy z równoważności $\log_a u=c\iff u=a^c$; otrzymana dodatnia prawa strona zapewnia zarazem spełnienie warunku na argument logarytmu.

a)

$$x^2-7=3^2\iff x^2=16\iff x\in\{-4,4\}.$$

b)

$$x^2-x=\left(\frac12\right)^{-1}=2,$$ $$x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0,$$

więc $x\in\{-1,2\}$.

c)

$$9x-x^2=2^3=8 \iff x^2-9x+8=(x-1)(x-8)=0,$$

stąd $x\in\{1,8\}$.

d)

$$|x^2-1|=2^3=8.$$

Równanie $x^2-1=8$ daje $x=\pm3$, natomiast równanie $x^2-1=-8$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązujemy równania od logarytmu zewnętrznego do wewnętrznego.

a)

$$\log_2x=4^{-\frac12}=\frac12,$$

zatem $x=2^{1/2}=\sqrt2$.

b)

$$\log_{\frac12}x=3^1=3,$$

czyli $x=\left(\frac12\right)^3=\frac18$.

c)

$$\log_2(\log_4|x|)=\left(\frac12\right)^0=1,$$ $$\log_4|x|=2^1=2,$$ $$|x|=4^2=16.$$

Stąd $x=\pm16$.

d)

$$\log_{\sqrt2}(\log_3x^2)=4^{\frac12}=2,$$ $$\log_3x^2=(\sqrt2)^2=2,$$ $$x^2=3^2=9.$$

Zatem $x=\pm3$.

a)

$$\log_5(x^2+1)=0{,}3^0=1,$$ $$x^2+1=5\iff x^2=4,$$

więc $x=\pm2$.

b)

$$\log_3(\log_3x)=3^0=1,$$ $$\log_3x=3^1=3,$$

stąd $x=3^3=27$.

c)

$$\log_3\!\left(\log_3(x^2-9)\right)=1,$$ $$\log_3(x^2-9)=3,$$ $$x^2-9=27\iff x^2=36.$$

Obie liczby $x=\pm6$ spełniają warunki dziedziny.

d) Kolejno usuwamy logarytmy dziesiętne:

$$1+\log(1+\log x)=1,$$ $$1+\log x=1,$$ $$x=1.$$

Korzystamy ze wzorów $\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)$ oraz $\log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv$.

a) Dziedzina: $x>3$. Mamy

$$\log_2\bigl(x(x-3)\bigr)=2 \iff x(x-3)=4,$$ $$(x-4)(x+1)=0.$$

Warunek dziedziny spełnia tylko $x=4$.

b) Dziedzina: $x>-\frac12$. Zatem

$$\log\bigl((2x+1)(x+1)\bigr)=1 \iff(2x+1)(x+1)=10,$$ $$2x^2+3x-9=0.$$

Pierwiastki to $\frac32$ i $-3$; dopuszczalny jest $x=\frac32$.

c) Dziedzina: $0<x<4$. Otrzymujemy

$$\log_3\frac{4-x}{x}=2 \iff\frac{4-x}{x}=9 \iff x=\frac25.$$

d) Dziedzina: $x>0$. Mamy

$$\log_2\bigl(x(x+3)\bigr)=2 \iff x^2+3x-4=0.$$

Spośród pierwiastków $1,-4$ warunek spełnia tylko $x=1$.

e) Dziedzina: $x>2$. Ponieważ $1=\log_3 3$,

$$\log_3\bigl(x(x-2)\bigr)=\log_3 3,$$ $$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0.$$

Dopuszczalne jest $x=3$.

f) Dziedzina: $-2<x<10$. Korzystając z różnicy logarytmów,

$$\log_{\frac12}\frac{4x+8}{10-x}=-3 \iff\frac{4x+8}{10-x}=8.$$

Stąd $4x+8=80-8x$, czyli $x=6$.

a) Niech $t=\log_2x$. Wówczas $\log_4x=\frac12t$, więc

$$\frac12t+t=9\iff t=6.$$

Zatem $x=2^6=64$.

b) Ponieważ $\log_{0{,}1}u=-\log u$, równanie przyjmuje postać

$$\log x+\log(x+3)=1.$$

Dziedzina wymaga $x>0$. Dalej

$$x(x+3)=10\iff(x-2)(x+5)=0,$$

więc $x=2$.

c) Dziedzina: $x>1$. Korzystamy z $2\log_4(x-1)=\log_2(x-1)$:

$$\log_2\frac{x}{x-1}=2 \iff\frac{x}{x-1}=4 \iff x=\frac43.$$

d) Ponieważ $\frac12\log_{\sqrt{10}}u=\log u$, porównujemy dodatnie argumenty:

$$x^2+\frac12x=x-x^2,$$ $$x(4x-1)=0.$$

Warunek $x-x^2>0$ daje $0<x<1$, zatem pozostaje $x=\frac14$.

W podstawie logarytmu musi być liczba dodatnia różna od $1$.

a) Warunki: $x>0$, $x\ne1$ oraz $1-x>0$. Równanie daje

$$1-x=x^1=x,$$

zatem $x=\frac12$, co spełnia wszystkie warunki.

b) Warunki: $x>0$, $x\ne1$ i $|x-1|>0$. Mamy

$$|x-1|=x^0=1.$$

Stąd $x=0$ lub $x=2$; dopuszczalne jest tylko $x=2$.

c) Warunki: $x>1$, $x\ne2$ i $3x-5>0$. Równanie jest równoważne

$$3x-5=(x-1)^2,$$ $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.$$

Liczba $2$ daje niedozwoloną podstawę równą $1$, więc $x=3$.

a) Niech $t=\log_3x$. Wtedy

$$t^2+3t=t(t+3)=0,$$

czyli $t=0$ lub $t=-3$. Zatem $x=1$ lub $x=\frac1{27}$.

b) Dla $x>0$ mamy $\log_2x^4=4\log_2x$. Po podstawieniu $t=\log_2x$:

$$t^2-4t=t(t-4)=0.$$

Stąd $x=1$ lub $x=16$.

c) Niech $t=\log x$, przy czym $t\ne0$. Wówczas

$$t-\frac1t=0\iff t^2=1.$$

Dla $t=1$ mamy $x=10$, a dla $t=-1$ mamy $x=0{,}1$.

d) Oznaczmy $t=\sqrt{\log_2x}$, gdzie $t\geqslant0$. Otrzymujemy

$$t^2+2t-8=(t-2)(t+4)=0.$$

Zatem $t=2$, $\log_2x=4$ i $x=16$.

e) Niech $t=\log_4x\ne0$. Wtedy

$$2t=1+\frac1t \iff2t^2-t-1=(2t+1)(t-1)=0.$$

Stąd $t=1$ lub $t=-\frac12$, czyli $x=4$ lub $x=\frac12$.

f) Dla $t=\log_{0{,}5}x$ mamy

$$t^2-t-2=(t-2)(t+1)=0.$$

Zatem $x=(0{,}5)^2=\frac14$ lub $x=(0{,}5)^{-1}=2$.

g) Dla $x>0$ zachodzi $\log x^2=2\log x$. Po podstawieniu $t=\log x$:

$$t^2-2t-8=(t-4)(t+2)=0.$$

Stąd $x=10^4=10\,000$ lub $x=10^{-2}=0{,}01$.

h) Niech $t=\log x$, gdzie $t\ne\pm1$. Mamy

$$\frac1{t-1}+\frac3{t+1}=2,$$ $$4t-2=2(t^2-1)\iff2t(t-2)=0.$$

Obie wartości $t=0,2$ są dopuszczalne, więc $x=1$ lub $x=100$.

i) Dziedzina daje $x>\frac12$ i $x\ne1$. Równość ilorazu z $1$ oznacza

$$\log(x+1)=\log(2x-1),$$

zatem $x+1=2x-1$ i $x=2$.

j) Dziedzina daje $x>-\frac14$ i $x\ne0$. Mamy

$$\log(4x+1)=2\log(x+1)=\log(x+1)^2,$$ $$4x+1=(x+1)^2\iff x(x-2)=0.$$

Liczbę $0$ wyklucza mianownik, zatem $x=2$.