NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 324

Sprowadzamy każde równanie do postaci $q^x=r$.

a)

$$5^x=6^{x+1} \iff \left(\frac56\right)^x=6 \iff x=\log_{\frac56}6.$$

b) Ponieważ $13^{3-x}=13^{-(x-3)}$,

$$11^{x-3}=13^{-(x-3)} \iff 143^{x-3}=1 \iff x=3.$$

c)

$$7^{x+1}=3^{2x-2} \iff 7\cdot7^x=\frac{9^x}{9} \iff \left(\frac97\right)^x=63,$$

zatem $x=\log_{\frac97}63$.

d)

$$3^{2x}=2^x\cdot4^{x-1} \iff 9^x=\frac{8^x}{4} \iff \left(\frac98\right)^x=\frac14.$$

Stąd $x=\log_{\frac98}\frac14$.

e)

$$4\cdot2^{x-3}=10^x\cdot3^{x-1} \iff \frac12\,2^x=\frac13\,30^x,$$ $$\left(\frac1{15}\right)^x=\frac23 \iff 15^x=\frac32.$$

Zatem $x=\log_{15}\frac32$.

Wyłączamy wspólną potęgę przed nawias.

a)

$$3^x(3^2-2)=63 \iff 7\cdot3^x=63 \iff 3^x=9,$$

więc $x=2$.

b)

$$3^{x-1}(3+1)=24 \iff 3^{x-1}=6.$$

Stąd $x-1=\log_36$, czyli

$$x=\log_3(3\cdot6)=\log_318.$$

c) Wyłączamy $\left(\frac12\right)^{3x}$:

$$\left(\frac12\right)^{3x}\left(\frac12+1\right)=12 \iff \left(\frac12\right)^{3x}=8 =\left(\frac12\right)^{-3}.$$

Zatem $3x=-3$, więc $x=-1$.

d) Mamy $(\sqrt2)^{4x}=4^x$ oraz $20\cdot4^{x-1}=5\cdot4^x$. Zatem

$$6\cdot4^x=6\iff 4^x=1,$$

czyli $x=0$.

e) Wszystkie trzy składniki po lewej zawierają $16^x$:

$$16\cdot16^x+16^x+16^x=\frac98 \iff 18\cdot16^x=\frac98.$$

Stąd $16^x=\frac1{16}$, więc $x=-1$.

Wprowadzamy dodatnią zmienną pomocniczą odpowiadającą podstawowej potędze.

a) Niech $t=2^x>0$. Wtedy

$$t^2-8t+16=0\iff(t-4)^2=0.$$

Zatem $2^x=4$, więc $x=2$.

b) Niech $t=5^x>0$. Otrzymujemy

$$t^2+5t-6=0\iff(t-1)(t+6)=0.$$

Dodatni jest tylko pierwiastek $t=1$, zatem $x=0$.

c) Niech $t=4^x>0$. Wówczas

$$4t^2=4t-1\iff(2t-1)^2=0.$$

Stąd $4^x=\frac12=4^{-\frac12}$, więc $x=-\frac12$.

d) Dla $t=2^x>0$ mamy

$$t^2-6t+8=0\iff(t-2)(t-4)=0.$$

Zatem $2^x=2$ lub $2^x=4$, czyli $x=1$ lub $x=2$.

e) Niech $t=2^{-x}>0$. Wtedy

$$t^2-3t+2=0\iff(t-1)(t-2)=0.$$

Z równań $2^{-x}=1$ i $2^{-x}=2$ otrzymujemy $x=0$ lub $x=-1$.

f) Niech $t=7^x>0$. Po pomnożeniu równania przez $t$:

$$t^2-5t-14=0\iff(t-7)(t+2)=0.$$

Stąd $t=7$, a więc $x=1$.

a) Mianownik musi być niezerowy:

$$3^x-3^{-x}\ne0\iff x\ne0.$$

Niech $t=3^x>0$. Wtedy

$$\frac{t+\frac1t}{t-\frac1t}=2 \iff \frac{t^2+1}{t^2-1}=2 \iff t^2=3.$$

Ponieważ $t^2=3^{2x}$, mamy $2x=1$, czyli $x=\frac12$.

b) Warunki dziedziny to $2^x\ne1$ i $2^x\ne2$, czyli $x\ne0,1$. Dla $t=2^x$ otrzymujemy

$$\frac3{t-1}+\frac2{2-t}=0.$$

Mnożymy przez $(t-1)(2-t)$:

$$3(2-t)+2(t-1)=0\iff t=4.$$

Zatem $2^x=4$, więc $x=2$, co spełnia warunki.

c) Warunkiem jest $1-2^x\ne0$, zatem $x\ne0$. Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\frac{1-4^x}{1-2^x} =\frac{(1-2^x)(1+2^x)}{1-2^x}=1+2^x.$$

Równanie jest tożsamością dla każdego argumentu z dziedziny.

a) Ponieważ

$$(2+\sqrt3)^{-1}=2-\sqrt3,$$

oba składniki po lewej są równe $(2-\sqrt3)^x$. Otrzymujemy

$$2(2-\sqrt3)^x=2 \iff(2-\sqrt3)^x=1.$$

Podstawa jest dodatnia i różna od $1$, zatem $x=0$.

b) Liczby $3-2\sqrt2$ i $3+2\sqrt2$ są wzajemnie odwrotne. Niech

$$t=(3+2\sqrt2)^x>0.$$

Wtedy równanie ma postać

$$\frac1t+t=2.$$

Po pomnożeniu przez $t$:

$$t^2-2t+1=0\iff(t-1)^2=0.$$

Stąd $(3+2\sqrt2)^x=1$, czyli $x=0$.

a) Niech $t=2^x>0$. Wtedy

$$t^3-4t^2+4t=0 \iff t(t-2)^2=0.$$

Ponieważ $t>0$, mamy $t=2$, zatem $x=1$.

b) Dla $t=2^x>0$ otrzymujemy

$$t^3-2t^2-t+2=0 \iff(t-2)(t-1)(t+1)=0.$$

Dodatnie pierwiastki to $t=1$ i $t=2$, więc $x=0$ lub $x=1$.

c) Niech ponownie $t=2^x>0$. Wówczas

$$t^4-5t^3+4t^2=0 \iff t^2(t-1)(t-4)=0.$$

Stąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$.

d) Niech $t=9^x>0$. Równanie ma postać

$$t^2-t+\frac9t-9=0.$$

Po pomnożeniu przez $t$:

$$t^3-t^2-9t+9=0 \iff(t-1)(t-3)(t+3)=0.$$

Zatem $9^x=1$ lub $9^x=3$, więc $x=0$ lub $x=\frac12$.

e) Warunek $\sqrt x$ wymaga $x\geqslant0$. Niech $t=3^{\sqrt x}\geqslant1$. Otrzymujemy

$$t^2-8t-9=0\iff(t-9)(t+1)=0.$$

Stąd $3^{\sqrt x}=9=3^2$, czyli $\sqrt x=2$ i $x=4$.

f) Także tutaj $x\geqslant0$. Dla $t=2^{\sqrt x}\geqslant1$ mamy

$$2t^2-9t+4=0\iff(2t-1)(t-4)=0.$$

Wartość $t=\frac12$ jest niemożliwa, bo $t\geqslant1$. Zatem $t=4=2^2$, więc $\sqrt x=2$ i $x=4$.