NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 323

Korzystamy z zależności

$$\frac{m}{m_0}=\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}.$$

a) Dla jodu-131

$$\frac{1{,}2}{4{,}8}=\frac14=\left(\frac12\right)^2.$$

W ciągu $16$ dni upłynęły więc dwa okresy połowiczne:

$$\frac{16}{T}=2\iff T=8\ \text{dni}.$$

b) Dla neptunu-239

$$\frac5{40}=\frac18=\left(\frac12\right)^3.$$

Siedem dni to trzy okresy połowiczne, zatem

$$T=\frac73\ \text{doby}=\frac73\cdot24\ \text{h}=56\ \text{h}.$$

Zmniejszenie masy o $75\%$ oznacza, że pozostaje $25\%=\frac14$ masy początkowej. Zatem

$$\frac14=\left(\frac12\right)^2 =\left(\frac12\right)^{\frac{100000}{T}}.$$

Porównujemy wykładniki:

$$\frac{100000}{T}=2\iff T=50000\ \text{lat}.$$

Stosujemy model dla ${}^{14}\mathrm C$ z okresem $5700$ lat:

$$\frac{m}{m_0}=\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5700}}.$$

a) Ubytek $20\%$ oznacza, że pozostaje $80\%=0{,}8$ zawartości:

$$0{,}8=\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5700}}.$$

Logarytmujemy i obliczamy

$$t=5700\frac{\log0{,}8}{\log0{,}5}\approx1835\ \text{lat}.$$

b) Po ubytku $80\%$ pozostaje $20\%=0{,}2$:

$$t=5700\frac{\log0{,}2}{\log0{,}5}\approx13235\ \text{lat}.$$

Początkowy stosunek ilości ${}^{14}\mathrm C$ do ${}^{12}\mathrm C$ wynosi $1{,}5\cdot10^{-12}$. Zmierzony stosunek $1:10^{13}$ jest równy $10^{-13}$, więc pozostała część izotopu ${}^{14}\mathrm C$ wynosi

$$\frac{10^{-13}}{1{,}5\cdot10^{-12}}=\frac1{15}.$$

Korzystamy z modelu rozpadu:

$$\frac1{15}=\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5700}}.$$

Po zlogarytmowaniu

$$t=5700\frac{\log\frac1{15}}{\log0{,}5} \approx22269\ \text{lat}.$$

Procent początkowej zawartości po $t$ latach obliczamy ze wzoru

$$P(t)=100\%\cdot\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5700}}.$$

a) Dla mumii mającej $3330$ lat:

$$P(3330)=100\%\cdot\left(\frac12\right)^{\frac{3330}{5700}} \approx66{,}70\%\approx67\%.$$

b) Dla kości mającej $17000$ lat:

$$P(17000)=100\%\cdot\left(\frac12\right)^{\frac{17000}{5700}} \approx12{,}65\%\approx13\%.$$