NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 322

Okres połowicznego rozpadu radu-226 wynosi $T=1600$ lat. Korzystamy ze wzoru

$$m=m_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{1600}}.$$

a)

$$\frac{12{,}5}{100}=\frac18=\left(\frac12\right)^3.$$

Zatem

$$\frac{t}{1600}=3\iff t=4800\ \text{lat}.$$

b)

$$\frac{0{,}01}{10{,}24}=\frac1{1024}=\left(\frac12\right)^{10}.$$

Stąd

$$\frac{t}{1600}=10\iff t=16000\ \text{lat}.$$

Korzystamy ze wzoru

$$\frac{m}{m_0}=\left(\frac12\right)^{\frac{t}{28}}.$$

Zmniejszenie masy o $75\%$ oznacza, że pozostaje $25\%=\frac14$ masy:

$$\frac14=\left(\frac12\right)^2 =\left(\frac12\right)^{\frac{t}{28}},$$

więc $t=2\cdot28=56$ lat.

Po zmniejszeniu o $87{,}5\%$ pozostaje $12{,}5\%=\frac18$ masy:

$$\frac18=\left(\frac12\right)^3 =\left(\frac12\right)^{\frac{t}{28}},$$

zatem $t=3\cdot28=84$ lata.

Okres połowicznego rozpadu izotopu ${}^{14}\mathrm C$ wynosi około $5700$ lat.

a) Zawartość mniejsza o $50\%$ stanowi połowę początkowej:

$$\frac{m}{m_0}=\frac12 =\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5700}}.$$

Stąd $t=5700$ lat.

b) Zawartość mniejsza o $75\%$ stanowi jedną czwartą początkowej:

$$\frac{m}{m_0}=\frac14 =\left(\frac12\right)^2 =\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5700}}.$$

Zatem $t=2\cdot5700=11400$ lat.

W żywym organizmie początkowy stosunek izotopów wynosi $1{,}5\cdot10^{-12}$. Izotop ${}^{12}\mathrm C$ nie ulega rozpadowi, więc iloraz stosunku zmierzonego i początkowego jest równy pozostałej części ${}^{14}\mathrm C$:

$$\frac{1{,}875\cdot10^{-13}}{1{,}5\cdot10^{-12}} =0{,}125=\frac18.$$

Korzystamy z okresu $T=5700$ lat:

$$\frac18=\left(\frac12\right)^3 =\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5700}}.$$

Stąd

$$t=3\cdot5700=17100\ \text{lat}.$$