NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 320

Sprowadzamy prawą stronę każdego równania do logarytmu o podstawie $4$.

a)

$$\log_{64}125=\frac{\log_4125}{\log_464} =\frac13\log_4125=\log_45.$$

Zatem $\log_4x=\log_45$, więc $x=5$.

b) Ponieważ $\sqrt2=4^{\frac14}$,

$$\log_{\sqrt2}3=\frac{\log_43}{\log_4\sqrt2} =4\log_43=\log_481.$$

Stąd $x=81$.

c)

$$\log_827=\frac{\log_427}{\log_48} =\frac23\log_427=\log_4 27^{\frac23}=\log_49,$$

czyli $x=9$.

d) Podstawa $2\sqrt2=2^{\frac32}=4^{\frac34}$, więc

$$\log_{2\sqrt2}10^5 =\frac{\log_4 10^5}{\frac34} =\frac{20}{3}\log_410 =\log_4 10^{\frac{20}{3}}.$$

Zatem

$$x=10^{\frac{20}{3}}=10^6\sqrt[3]{100}.$$

W każdym podpunkcie korzystamy z $a=\log_23=\frac{\ln3}{\ln2}$.

a)

$$\log_43=\frac{\ln3}{2\ln2}=\frac a2.$$

b)

$$\log_{\sqrt2}3=\frac{\ln3}{\frac12\ln2}=2a.$$

c) Najpierw

$$\log_3\frac18=\log_3 2^{-3}=-3\log_32=-\frac3a.$$

Zatem

$$\frac1{\log_3\frac18}=-\frac a3.$$

d)

$$\log_62=\frac{\ln2}{\ln2+\ln3}=\frac1{1+a}.$$

e) Używamy $\frac1{\log_uv}=\log_vu$:

$$\frac1{\log_{\sqrt3}2}+\frac1{\log_92} =\log_2\sqrt3+\log_29 =\frac a2+2a=2{,}5a.$$

f) Analogicznie

$$\frac1{\log_{\sqrt3}2}+\frac1{\log_94} =\log_2\sqrt3+\log_49 =\frac a2+a=1{,}5a.$$

a) Ze zmiany podstawy wynika

$$\log_{\sqrt a}x=\frac{\log_ax}{\log_a\sqrt a} =2\log_ax=t,$$

czyli $\log_ax=\frac t2$. Wobec tego

$$\log_{a^2}x=\frac{\log_ax}{2}=\frac t4.$$

b) Z założenia

$$\log_{a^3}x=\frac13\log_ax=t,$$

więc $\log_ax=3t$. Zatem

$$\log_{\sqrt[3]a}x=3\log_ax=9t.$$

We wszystkich podpunktach stosujemy zmianę podstawy na $a$.

a)

$$\log_{a^2}x^2=\frac{\log_ax^2}{\log_aa^2} =\frac{2\log_ax}{2}=\log_ax.$$

b)

$$\log_{\sqrt[3]a}x=\frac{\log_ax}{\frac13} =3\log_ax=\log_ax^3.$$

c)

$$\log_{\frac1a}x=\frac{\log_ax}{\log_a a^{-1}} =-\log_ax.$$

d) Dla $n\in\mathbb N_+$:

$$\log_{a^n}x^n=\frac{n\log_ax}{n}=\log_ax.$$

e) Dla $n\in\mathbb N_+$:

$$\log_{\sqrt[n]a}x=\frac{\log_ax}{\frac1n} =n\log_ax=\log_ax^n.$$

f) Dla $p\ne0$ podstawa $a^p$ jest dodatnia i różna od $1$, a

$$\log_{a^p}x=\frac{\log_ax}{p} =\log_ax^{\frac1p}.$$

W każdym podpunkcie otrzymaliśmy prawą stronę, co kończy dowód.

Konieczne założenia to

$$a,b,c,d\in\mathbb R_+\setminus\{1\}.$$

Zapewniają one dodatniość argumentów i dopuszczalność wszystkich podstaw. Z danych

$$\log_da=\frac12$$

wynika, że $\log_ad=2$.

a) Iloczyn teleskopuje się:

$$\log_ab\cdot\log_bc\cdot\log_cd=\log_ad=2.$$

b) Skan strony pokazuje, że drugi czynnik ma podstawę $b$, a nie $\frac1b$ jak w OCR. Mamy

$$\log_{\frac1a}\frac1b=\log_ab, \qquad \log_b\frac1c=-\log_bc, \qquad \log_{\frac1c}\frac1d=\log_cd.$$

Zatem

$$\log_{\frac1a}\frac1b\cdot\log_b\frac1c \cdot\log_{\frac1c}\frac1d =-\log_ab\cdot\log_bc\cdot\log_cd=-2.$$

Oznaczmy $t=\log_ab$. Ponieważ $0<a<1<b$, mamy $t<0$ oraz $\log_ba=\frac1t$.

a)

$$\log_ab-\log_a^2b=t-t^2=t(1-t)<0,$$

bo $t<0$ i $1-t>0$.

b) Mamy

$$\log_b^2a+\log_{\frac1a}b =\frac1{t^2}-t>0,$$

gdyż oba składniki są dodatnie.

c)

$$\frac1{\log_ab}+\frac1{\log_ba} =\frac1t+t.$$

Dla $t<0$ zachodzi

$$t+\frac1t+2=\frac{(t+1)^2}{t}\leqslant0,$$

więc $t+\frac1t\leqslant-2$.

d)

$$\log_a^2b+\log_{\sqrt a}b =t^2+2t=(t+1)^2-1\geqslant-1.$$

Wszystkie cztery nierówności zostały wykazane.

We wszystkich podpunktach występuje logarytm argumentu $x$, więc $D_f=(0;\infty)$. W tej dziedzinie upraszczamy wzory.

a)

$$f(x)=\frac12\log_2x+\frac12\log_2x=\log_2x.$$

b)

$$f(x)=4\log_2x-2\log_2x=2\log_2x=\log_{\sqrt2}x.$$

c)

$$f(x)=\log_2x-2\log_2x=-\log_2x=\log_{\frac12}x.$$

d)

$$f(x)=3\log_8x-\frac14\cdot2\log_2x =\log_2x-\frac12\log_2x =\frac12\log_2x=\log_4x.$$

Każdy wykres jest więc standardowym wykresem funkcji logarytmicznej o wskazanej podstawie; ma asymptotę $x=0$ i przechodzi przez $(1,0)$.

Stosujemy wzór na zmianę podstawy i zaokrąglamy do trzech miejsc po przecinku.

a)

$$\log_37=\frac{\log7}{\log3}\approx1{,}771243 \approx1{,}771.$$

b)

$$\log_63=\frac{\log3}{\log6}\approx0{,}613147 \approx0{,}613.$$

c)

$$\log_{0{,}5}9=\frac{\log9}{\log0{,}5}\approx-3{,}169925 \approx-3{,}170.$$