NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 319

W każdej podstawie zapisujemy liczbę jako potęgę $2$.

a)

$$\log_{16}3=\frac{\log_23}{\log_216} =\frac14\log_23=\log_2\sqrt[4]{3}.$$

b)

$$\log_{0{,}5}7=\frac{\log_27}{\log_2\frac12} =-\log_27=\log_2\frac17.$$

c)

$$\log_{\sqrt2}11=\frac{\log_211}{\frac12} =2\log_211=\log_2121.$$

d)

$$\log_{\frac18}9=\frac{\log_29}{-3} =-\frac13\log_29=\log_2 9^{-\frac13}.$$

e)

$$\log_46+\log_86 =\frac12\log_26+\frac13\log_26 =\frac56\log_26=\log_2 6^{\frac56}.$$

f) Ponieważ $0{,}125=\frac18$,

$$\begin{aligned} &\log_{\frac12}3+\log_{\frac14}3+\log_{\frac18}3\\ &=-\log_23-\frac12\log_23-\frac13\log_23 =-\frac{11}{6}\log_23 =\log_2 3^{-\frac{11}{6}}. \end{aligned}$$

Sprowadzamy logarytmy w każdym podpunkcie do wspólnej podstawy.

a)

$$\begin{aligned} \log_225+\log_425 &=\log_225+\frac12\log_225\\ &=\frac32\log_225 =\log_2 25^{\frac32}=\log_2125. \end{aligned}$$

b) Ponieważ podstawy to $10^{-1}$ i $10^{-2}$,

$$\begin{aligned} \log_{0{,}1}4+\log_{0{,}01}16 &=-\log4-\frac12\log16\\ &=-\log4-\log4=-\log16=\log\frac1{16}. \end{aligned}$$

c)

$$\log_34+\log_94 =\log_34+\frac12\log_34 =\frac32\log_34=\log_38.$$

Z drugiej strony

$$\log_{\frac13}0{,}125 =\log_{3^{-1}}2^{-3}=3\log_32=\log_38.$$

d)

$$\begin{aligned} \log_{\frac12}9+\log_49 &=-\log_29+\frac12\log_29\\ &=-\frac12\log_29=\log_2 9^{-\frac12} =\log_2\frac13. \end{aligned}$$

Przy założeniach z treści wszystkie logarytmy są określone.

a) Zmieniamy podstawę lewej strony na $a$:

$$\log_{\sqrt a}x =\frac{\log_ax}{\log_a\sqrt a} =\frac{\log_ax}{\frac12} =2\log_ax =\log_ax^2.$$

b) Analogicznie

$$\log_{a^2}x =\frac{\log_ax}{\log_aa^2} =\frac12\log_ax =\log_ax^{\frac12} =\log_a\sqrt x.$$

Korzystamy z $\log_32=p$ oraz zapisujemy podstawy i argumenty jako potęgi liczb $2$ i $3$.

a)

$$\log_92=\frac{\log_32}{\log_39}=\frac p2.$$

b)

$$\log_{\frac1{27}}2=\frac{p}{-3}=-\frac13p.$$

c)

$$\log_{\sqrt3}4=\frac{\log_3 2^2}{\frac12}=4p.$$

d)

$$\log_{81}\sqrt2=\frac{\frac12p}{4}=\frac18p.$$

e) Ponieważ $18=2\cdot3^2$,

$$\log_{\frac13}18=\frac{p+2}{-1}=-2-p.$$

f) Ponieważ $6=2\cdot3$,

$$\log_{\sqrt[3]3}6=\frac{p+1}{\frac13}=3+3p.$$

g) Mamy $48=2^4\cdot3$, więc

$$\log_{27}\frac1{48} =\frac{-4p-1}{3}=-\frac13-\frac43p.$$

h) Podstawa $3\sqrt3=3^{\frac32}$, a argument $\frac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}$. Zatem

$$\log_{3\sqrt3}\frac{\sqrt2}{2} =\frac{-\frac12p}{\frac32}=-\frac13p.$$

Zmieniamy podstawę logarytmu po lewej stronie na $a$:

$$\log_ba=\frac{\log_aa}{\log_ab}=\frac1{\log_ab}.$$

Mianownik jest niezerowy: z $b\ne1$ wynika $\log_ab\ne0$. Otrzymana równość dowodzi wzoru.

Oznaczmy $t=\log_ab$. Wtedy $\log_ba=\frac1t$.

a) Dla $a,b\in(0;1)$ mamy $t>0$. Zatem

$$t+\frac1t-2=\frac{(t-1)^2}{t}\geqslant0,$$

co daje

$$\log_ab+\log_ba\geqslant2.$$

Równość zachodzi dla $t=1$, czyli $a=b$.

b) Dla $a>1$ i $0<b<1$ mamy $t<0$. Ponieważ

$$t+\frac1t+2=\frac{(t+1)^2}{t}\leqslant0,$$

otrzymujemy

$$\log_ab+\log_ba\leqslant-2.$$

Równość zachodzi dla $t=-1$, czyli $b=\frac1a$.