NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 318

Korzystamy ze wzoru

$$\log_bx=\frac{\log_cx}{\log_cb}.$$

a)

$$\log_{0{,}1}7=\frac{\log 7}{\log0{,}1} =-\log7=\log\frac17.$$

b)

$$\log_83=\frac{\log_23}{\log_28} =\frac13\log_23=\log_2\sqrt[3]{3}.$$

c) Ponieważ $\log_{49}7=\frac12$, mamy

$$\log_711=\frac{\log_{49}11}{\log_{49}7} =2\log_{49}11=\log_{49}121.$$

d)

$$\log625=\frac{\log_{0{,}1}625}{\log_{0{,}1}10} =-\log_{0{,}1}625=\log_{0{,}1}\frac1{625}.$$

e)

$$\log_26=\frac{\log_{\frac12}6}{\log_{\frac12}2} =-\log_{\frac12}6=\log_{\frac12}\frac16.$$

f)

$$\log_{\frac13}12=\frac{\log_312}{\log_3\frac13} =-\log_312=\log_3\frac1{12}.$$

Korzystamy kolejno z własności $\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$.

a) Iloczyn teleskopuje się:

$$\begin{aligned} &\log_23\cdot\log_34\cdot\log_45\cdot\log_56 \cdot\log_67\cdot\log_78\\ &=\log_24\cdot\log_45\cdot\log_56\cdot\log_67\cdot\log_78\\ &=\log_28=3. \end{aligned}$$

b) Pierwszy czynnik to $\log_{10}0{,}1$. Cały iloczyn również teleskopuje się:

$$\begin{aligned} &\log_{10}0{,}1\cdot\log_{0{,}1}0{,}01 \cdot\log_{0{,}01}0{,}001\cdot\log_{0{,}001}0{,}0001\\ &=\log_{10}0{,}0001=\log_{10}10^{-4}=-4. \end{aligned}$$