NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 316

Każdy wykres otrzymujemy przez pionowe przesunięcie wykresu odpowiedniej funkcji logarytmicznej. We wszystkich podpunktach dziedziną jest $(0;\infty)$, a asymptotą $x=0$.

a) Przesuwamy $y=\log_2x$ o $2$ jednostki w dół. Miejsce zerowe spełnia

$$\log_2x-2=0\iff \log_2x=2\iff x=4.$$

b) Przesuwamy $y=\log_3x$ o $1$ jednostkę w górę. Zatem

$$\log_3x+1=0\iff \log_3x=-1\iff x=\frac13.$$

c) Wykres $y=\log_{\frac13}x$ przesuwamy o $2$ jednostki w dół:

$$\log_{\frac13}x-2=0 \iff \log_{\frac13}x=2 \iff x=\frac19.$$

a) Warunek $x+3>0$ daje $D_f=(-3;\infty)$. Wykres $y=\log_2x$ przesuwamy o wektor $[-3,0]$, więc asymptota ma równanie $x=-3$. Punkt zerowy to $(-2,0)$.

b) Warunek $x-1>0$ daje $D_f=(1;\infty)$. Jest to przesunięcie wykresu $y=\log_3x$ o wektor $[1,0]$, a asymptotą jest $x=1$. Wykres przechodzi przez $(2,0)$.

c) Z warunku $x+2>0$ otrzymujemy $D_f=(-2;\infty)$. Wykres $y=\log_{\frac13}x$ przesuwamy o wektor $[-2,0]$, zatem asymptotą jest $x=-2$, a punktem zerowym $(-1,0)$.

Najpierw wyznaczamy dziedzinę, a następnie rozwiązujemy nierówność $f(x)<0$. Przy podstawie większej od $1$ logarytm jest rosnący, a przy podstawie z przedziału $(0;1)$ — malejący.

a) Mamy $x+1>0$, czyli $D_f=(-1;\infty)$. Ponadto

$$\log_2(x+1)-2<0 \iff \log_2(x+1)<2 \iff 0<x+1<4.$$

Zatem $x\in(-1;3)$.

b) Dziedziną jest $(1;\infty)$. Ponieważ podstawa $\frac12$ jest mniejsza od $1$,

$$\log_{\frac12}(x-1)-1<0 \iff \log_{\frac12}(x-1)<1 \iff x-1>\frac12.$$

Stąd $x\in\left(\frac32;\infty\right)$.

c) Warunek $x-2>0$ daje $D_f=(2;\infty)$. Dalej

$$\log_3(x-2)+3<0 \iff \log_3(x-2)<-3 \iff 0<x-2<\frac1{27},$$

więc $x\in\left(2;\frac{55}{27}\right)$.

d) Dziedziną jest $(-3;\infty)$, a

$$\log_3(x+3)-1<0 \iff 0<x+3<3.$$

Zatem $x\in(-3;0)$.

e) Mamy $D_f=(-4;\infty)$. Ponieważ logarytm jest malejący,

$$\log_{\frac12}(x+4)+1<0 \iff \log_{\frac12}(x+4)<-1 \iff x+4>2,$$

czyli $x\in(-2;\infty)$.

f) Warunek $x-1>0$ daje $D_f=(1;\infty)$. Ponadto

$$\log_{\frac13}(x-1)-3<0 \iff \log_{\frac13}(x-1)<3 \iff x-1>\frac1{27}.$$

Stąd $x\in\left(\frac{28}{27};\infty\right)$.

Odczytujemy z wykresów położenie asymptoty pionowej i przesunięcie punktu $(1,0)$ wykresu $f(x)=\log_2x$.

a) Asymptota przesunęła się z $x=0$ na $x=-1$, czyli o $1$ jednostkę w lewo. Punkt odpowiadający $(1,0)$ znajduje się po przesunięciu w $(0,-2)$, więc wykres przesunięto także o $2$ jednostki w dół. Wektor to $[-1,-2]$, a

$$g(x)=\log_2(x+1)-2.$$

b) Asymptota ma równanie $x=2$, zatem przesunięcie poziome wynosi $2$ jednostki w prawo. Wykres jest ponadto przesunięty o $1$ jednostkę w górę. Otrzymujemy wektor $[2,1]$ i wzór

$$g(x)=\log_2(x-2)+1.$$

a) Zapisujemy

$$f(x)=-\log_2x+2.$$

Wykres $y=\log_2x$ odbijamy względem osi $OX$ i przesuwamy o $2$ jednostki w górę. Dziedziną jest $(0;\infty)$.

b) Ponieważ $-\log_{\frac13}x=\log_3x$, mamy

$$f(x)=\log_3x-1.$$

Jest to wykres $y=\log_3x$ przesunięty o $1$ jednostkę w dół; $D_f=(0;\infty)$.

c) Wykres $y=\log_3x$ odbijamy względem osi $OY$, a następnie przesuwamy o $2$ jednostki w dół. Warunek $-x>0$ daje $D_f=(-\infty;0)$.

d) Odbijamy wykres $y=\log_{\frac12}x$ względem osi $OY$ i przesuwamy o $3$ jednostki w górę. Także tutaj $D_f=(-\infty;0)$.

We wszystkich podpunktach warunek $-x>0$ daje $x<0$, więc $D_f=(-\infty;0)$. Zastąpienie $x$ przez $-x$ oznacza odbicie wykresu $y=\log_a x$ względem osi $OY$.

a) Odbijamy wykres $y=\log_3x$ względem osi $OY$. Asymptotą jest $x=0$, a punkty kontrolne to

$$(-3,1),\qquad(-1,0),\qquad\left(-\frac13,-1\right).$$

b) Odbijamy wykres $y=\log_{\frac12}x$ względem osi $OY$. Wykres przechodzi przez

$$(-2,-1),\qquad(-1,0),\qquad\left(-\frac12,1\right)$$

i ma asymptotę $x=0$.

c) Najpierw odbijamy wykres $y=\log_{\frac13}x$ względem osi $OY$, a następnie przesuwamy go o wektor $[0,2]$. Otrzymujemy między innymi punkty

$$(-3,1),\qquad(-1,2),\qquad\left(-\frac13,3\right),$$

przy niezmienionej asymptocie $x=0$.

Każdy wzór ma postać $\log_a(-(x-p))$: wykres bazowy odbijamy względem osi $OY$, a następnie przesuwamy poziomo.

a) Warunek

$$1-x>0\iff x<1$$

daje $D_f=(-\infty;1)$. Wykres $y=\log_2(-x)$ przesuwamy o $1$ jednostkę w prawo. Asymptotą jest $x=1$, a miejscem zerowym $x=0$.

b) Z nierówności

$$-2-x>0\iff x<-2$$

otrzymujemy $D_f=(-\infty;-2)$. Wykres $y=\log_{\frac12}(-x)$ przesuwamy o $2$ jednostki w lewo. Asymptota ma równanie $x=-2$, a miejsce zerowe to $x=-3$.

c) Warunek $-1-x>0$ daje $D_f=(-\infty;-1)$. Jest to wykres $y=\log_3(-x)$ przesunięty o $1$ jednostkę w lewo, z asymptotą $x=-1$ i miejscem zerowym $x=-2$.

a) Rysujemy krzywą $y=\log_2(x+5)$ dla $x>-5$ i zacieniowujemy obszar pod nią. Następnie rysujemy $y=|x+2|$ i zaznaczamy obszar nad tym wykresem. Ich część wspólna ma postać

$$A\cap B=\{(x,y):-5<x, |x+2|\leqslant y\leqslant\log_2(x+5)\}.$$

Lewa para krzywych przecina się w $(-3,1)$. Drugi punkt przecięcia ma współrzędne $(\alpha,\alpha+2)$, gdzie $\alpha$ jest jedynym rozwiązaniem równania

$$\log_2(\alpha+5)=\alpha+2$$

dla $\alpha\geqslant-2$; numerycznie $\alpha\approx0{,}445$. Zatem część wspólna występuje dla $-3\leqslant x\leqslant\alpha$.

Różnica składa się z punktów leżących pod wykresem logarytmu, ale ściśle pod wykresem modułu:

$$A\setminus B=\{(x,y):x>-5, y\leqslant\log_2(x+5), y<|x+2|\}.$$

b) Krzywe $y=\log_2(x+4)$ i $y=\log_2(-x)$ przecinają się, gdy $x+4=-x$, czyli w punkcie $(-2,1)$. Dla $-4<x<-2$ niżej leży pierwszy wykres, a dla $-2<x<0$ — drugi. Dlatego

$$\begin{aligned} A\cap B={}&\{(x,y):-4<x\leqslant-2, y\leqslant\log_2(x+4)\}\\ &\cup\{(x,y):-2\leqslant x<0, y\leqslant\log_2(-x)\}. \end{aligned}$$

Do $A\setminus B$ należą: pas między wykresami dla $-2<x<0$ oraz cała część $A$ dla $x\geqslant0$ (wtedy punkty nie należą do dziedziny warunku definiującego $B$):

$$\begin{aligned} A\setminus B={}&\{(x,y):-2<x<0, \ \log_2(-x)<y\leqslant\log_2(x+4)\}\\ &\cup\{(x,y):x\geqslant0, y\leqslant\log_2(x+4)\}. \end{aligned}$$