NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 315

W każdym podpunkcie argument logarytmu musi być dodatni. Wykres otrzymujemy przez poziome przesunięcie wykresu odpowiedniej funkcji $y=\log_a x$.

a) Warunek $x-3>0$ daje $D_f=(3;\infty)$. Jest to wykres $y=\log_{\frac12}x$ przesunięty o wektor $[3,0]$. Jego asymptotą pionową jest prosta $x=3$. Do szkicu wystarczą punkty

$$\left(\frac72,1\right),\qquad (4,0),\qquad (5,-1).$$

b) Z warunku $x+4>0$ otrzymujemy $D_f=(-4;\infty)$. Przesuwamy wykres $y=\log_{\frac12}x$ o wektor $[-4,0]$, więc asymptota ma równanie $x=-4$. Punkty kontrolne to

$$\left(-\frac72,1\right),\qquad (-3,0),\qquad (-2,-1).$$

c) Warunek $x-2>0$ daje $D_f=(2;\infty)$. Wykres $y=\log_{\frac13}x$ przesuwamy o wektor $[2,0]$; jego asymptotą jest $x=2$. Można zaznaczyć punkty

$$\left(\frac73,1\right),\qquad (3,0),\qquad (5,-1).$$

Wszystkie trzy wykresy są malejące.

W wyrażeniu $\log_a(x-p)+q$ warunek $x-p>0$ daje dziedzinę $(p;\infty)$ i asymptotę $x=p$. Wykres $y=\log_a x$ przesuwamy o wektor $[p,q]$.

a) Przesunięcie ma wektor $[2,1]$. Zatem

$$D_f=(2;\infty),\qquad x=2.$$

Wykres przechodzi przez punkt $(3,1)$.

b) Przesunięcie ma wektor $[1,-2]$. Zatem

$$D_f=(1;\infty),\qquad x=1.$$

Wykres przechodzi przez punkt $(2,-2)$.

c) Zapisujemy $x+2=x-(-2)$, więc wektor przesunięcia to $[-2,-1]$:

$$D_f=(-2;\infty),\qquad x=-2.$$

Punktem wykresu jest $(-1,-1)$.

d) Wektor przesunięcia wynosi $[-3,2]$:

$$D_f=(-3;\infty),\qquad x=-3.$$

Wykres przechodzi przez $(-2,2)$.

e) Wektor przesunięcia to $[1,-3]$:

$$D_f=(1;\infty),\qquad x=1.$$

Punktem wykresu jest $(2,-3)$.

f) Wektor przesunięcia wynosi $[-2,-2]$:

$$D_f=(-2;\infty),\qquad x=-2.$$

Wykres przechodzi przez $(-1,-2)$.

Wykresy w a), c), e) są rosnące, a w b), d), f) — malejące.