NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 312

Warunek $P(x,y)$ oznacza $\log_a x=y$, czyli $a^y=x$.

a) $a^3=27$, zatem $a=3$.
b) $a^4=625=5^4$, a podstawa jest dodatnia, więc $a=5$.
c) $a^{-5}=32=2^5$, zatem $a=\frac12$.
d) $a^4=4$, a dodatnia podstawa daje $a=\sqrt2$.

Z równoważności $\log_a x=y\iff a^y=x$ wyznaczamy podstawę. Każdy wykres ma dziedzinę $(0;\infty)$, asymptotę $x=0$ i przechodzi przez $(1,0)$.

a) $a^1=5$, więc $f(x)=\log_5x$. Jest to funkcja rosnąca; do szkicu zaznaczamy $(\frac15,-1)$, $(1,0)$ i $(5,1)$.

b) $a^{-1}=5$, więc $a=\frac15$ i $f(x)=\log_{1/5}x$. Funkcja jest malejąca; punkty pomocnicze to $(\frac15,1)$, $(1,0)$ i $(5,-1)$.

c) $a^{1/3}=2$, więc $a=8$ i $f(x)=\log_8x$. Funkcja jest rosnąca; można zaznaczyć $(\frac18,-1)$, $(1,0)$, $(2,\frac13)$ i $(8,1)$.

d) $a^2=2$, zatem $a=\sqrt2$ i $f(x)=\log_{\sqrt2}x$. Funkcja jest rosnąca; punkty pomocnicze to $(\frac1{\sqrt2},-1)$, $(1,0)$, $(\sqrt2,1)$ i $(2,2)$.

Funkcja $\log_2x$ jest rosnąca, więc obrazy przedziałów wyznaczamy przez zlogarytmowanie ich końców.

a) Gdy $x\in(0;1)$, wartości zmieniają się od $-\infty$ do $0$ bez wartości końcowej, zatem $f(D_f)=(-\infty;0)$.

b) $\log_2 2=1$, więc $f(D_f)=[1;\infty)$.

c) $\log_2\frac12=-1$ i $\log_2 8=3$, zatem $f(D_f)=[-1;3]$.

d)

$$\log_2\frac{\sqrt2}{2}=-\frac12,\qquad \log_2 1024=10,$$

więc $f(D_f)=[-\frac12;10]$.

W każdym podpunkcie funkcja jest monotoniczna, więc wartości skrajne osiąga na końcach podanego przedziału.

a) Funkcja o podstawie $3$ jest rosnąca, a $\log_3\frac13=-1$, $\log_31=0$. Zatem $f(D_f)=[-1;0]$.

b) Funkcja o podstawie $\frac13$ jest malejąca. Ponieważ

$$\log_{1/3}\frac19=2,\qquad \log_{1/3}27=-3,$$

otrzymujemy $f(D_f)=[-3;2]$.

c) Funkcja o podstawie $\frac14$ jest malejąca, a

$$\log_{1/4}\frac12=\frac12,\qquad \log_{1/4}8=-\frac32.$$

Stąd $f(D_f)=[-\frac32;\frac12]$.

d) Funkcja o podstawie $8$ jest rosnąca i

$$\log_8\frac12=-\frac13,\qquad \log_8\sqrt2=\frac16.$$

Zatem $f(D_f)=[-\frac13;\frac16]$.

Funkcja $\log_ax$ jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy $a>1$.

a) $2m>1$, więc $m>\frac12$.

b) $1-m>1$, więc $m<0$.

c) $m^2>1$, czyli $m<-1$ lub $m>1$.

Funkcja $\log_ax$ jest malejąca dokładnie dla $0<a<1$.

a)

$$0<m-2<1\iff 2<m<3.$$

b)

$$0<4m^2<1\iff 0<m^2<\frac14,$$

czyli $m\in(-\frac12;0)\cup(0;\frac12)$.

c)

$$0<1-m^2<1\iff 0<m^2<1,$$

zatem $m\in(-1;0)\cup(0;1)$.

Funkcja $\log_3x$ jest rosnąca na $(0;\infty)$. Korzystamy z $3^1=3$, $3^2=9$ i $3^{-2}=\frac19$.

a) $\log_3x>1\iff x>3$, więc $x\in(3;\infty)$.
b) $\log_3x\leqslant1\iff0<x\leqslant3$, więc $x\in(0;3]$.
c) $\log_3x\geqslant2\iff x\geqslant9$, więc $x\in[9;\infty)$.
d) $\log_3x<-2\iff0<x<\frac19$, więc $x\in(0;\frac19)$.

Funkcja $\log_{1/3}x$ jest malejąca na $(0;\infty)$. Ponadto $(\frac13)^1=\frac13$, $(\frac13)^2=\frac19$ i $(\frac13)^{-2}=9$. Z powodu malejącej monotoniczności zmieniamy zwrot nierówności między wartością logarytmu a argumentem.

a) $\log_{1/3}x>1\iff0<x<\frac13$.
b) $\log_{1/3}x\leqslant1\iff x\geqslant\frac13$.
c) $\log_{1/3}x\geqslant2\iff0<x\leqslant\frac19$.
d) $\log_{1/3}x<-2\iff x>9$.

Weźmy dowolny punkt $(u,v)$ wykresu funkcji logarytmicznej. Wtedy $u>0$ i

$$v=\log_a u\iff u=a^v.$$

Ostatnia równość oznacza, że punkt o zamienionych współrzędnych $(v,u)$ należy do wykresu funkcji $g(x)=a^x$.

Odbicie względem prostej $y=x$ zamienia współrzędne każdego punktu $(u,v)$ na $(v,u)$. Zatem odbicie całego wykresu $y=\log_a x$ jest wykresem $y=a^x$, co należało uzasadnić.