NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 311

W każdym przypadku $f(1)=\log_a1=0$.

a) Dla $a>1$ funkcja logarytmiczna jest rosnąca. Zatem na prawo od $1$ przyjmuje wartości dodatnie, a między $0$ i $1$ — ujemne:

$$f(x)>0\iff x\in(1;\infty),\qquad f(x)<0\iff x\in(0;1).$$

b) Dla $0<a<1$ funkcja jest malejąca, więc znaki są odwrotne:

$$f(x)>0\iff x\in(0;1),\qquad f(x)<0\iff x\in(1;\infty).$$

Funkcja $\log_4x$ jest rosnąca, a jej dziedziną jest $(0;\infty)$. Ponadto

$$\log_4x=1\iff x=4,\qquad \log_4x=-1\iff x=\frac14.$$

Z monotoniczności otrzymujemy:

a) $x\in[4;\infty)$;
b) $x\in(0;4)$;
c) $x\in(\frac14;\infty)$;
d) $x\in(0;\frac14]$.

Funkcja $\log_{1/4}x$ jest malejąca na $(0;\infty)$. Mamy

$$\log_{1/4}x=1\iff x=\frac14,\qquad \log_{1/4}x=-1\iff x=4.$$

Przy przejściu od nierówności wartości funkcji do nierówności argumentów zmieniamy zwrot, ponieważ funkcja jest malejąca.

a) $x\in(0;\frac14)$;
b) $x\in[\frac14;\infty)$;
c) $x\in(0;4]$;
d) $x\in(4;\infty)$.