NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 308

a)

$$\log_{12}(2\cdot8\cdot9)=\log_{12}144=2.$$

b)

$$\log_3\left(\frac1{12}\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{10}{21}\right) =\log_3\frac1{27}=-3.$$

c)

$$\log\left(\frac{0{,}12}{0{,}3}\cdot25\right)=\log10=1.$$

d)

$$\log_{0{,}2}\frac{0{,}3}{0{,}5\cdot15} =\log_{0{,}2}0{,}04=\log_{0{,}2}(0{,}2)^2=2.$$

Dla $x,y,z>0$ możemy rozwinąć każdy logarytm za pomocą własności logarytmu iloczynu, ilorazu i potęgi.

a) Obie strony są równe

$$2\log x+2\log y.$$

b) Lewa strona ma postać

$$-\log x-2\log y-(-\log x)=-2\log y,$$

a prawa

$$-\frac12\log y^4=-2\log y.$$

c)

$$\log\frac{x}{y}+\log y^2z =(\log x-\log y)+(2\log y+\log z) =\log x+\log y+\log z=\log xyz.$$

d) Lewa strona jest równa

$$\log x+\log y+2\log z-\log y=\log x+2\log z.$$

Prawa strona daje ten sam wynik:

$$\log x+\log y+\log z-(\log y-\log z)=\log x+2\log z.$$

e) Lewa strona jest równa

$$2(3\log x-\log y)-3(2\log x+\log z) =-2\log y-3\log z.$$

Ponadto

$$2\log\left(\frac yz\right)^{-1}-5\log z =2(\log z-\log y)-5\log z =-2\log y-3\log z,$$

więc również ostatnia równość jest prawdziwa.

a) Oba logarytmy wymagają $x>0$. Wtedy

$$\log x^3+2\log x=\log(x^3\cdot x^2)=\log x^5.$$

b) Dziedzina to $x>0$, a

$$\log\sqrt x-\frac32\log x =\log x^{1/2}-\log x^{3/2}=\log\frac1x.$$

c) Warunek $x^4>0$ daje $x\ne0$. Ponieważ $\sqrt{x^4}=x^2$,

$$\frac12\log x^4+1=\log x^2+\log10=\log(10x^2).$$

d) Dla $x>0$ mamy $1=\log_{1/2}\frac12$, zatem

$$1-2\log_{1/2}x =\log_{1/2}\frac12+\log_{1/2}x^{-2} =\log_{1/2}\frac1{2x^2}.$$

e) Dziedzina: $x>0$, $y>0$. Wtedy

$$2\log_3x+\log_3y+1=\log_3(3x^2y).$$

f) Warunki są równoważne $x>0$, $y>0$. Mamy

$$\frac13\log_5(8x^3)=\log_5(2x),$$ $$-2\log_5(y\sqrt x)=\log_5\frac1{y^2x},\qquad \frac12=\log_5\sqrt5.$$

Po połączeniu:

$$\log_5\frac{2\sqrt5}{y^2}.$$

g) Dla $x>0$, $y>0$ otrzymujemy

$$\frac12\log_2x-\log_2y-2 =\log_2\frac{\sqrt x}{4y}.$$

h) Każdy argument jest dodatni dokładnie wtedy, gdy $x\ne0$. Ponieważ

$$(4x^4)^{1/2}=(8x^6)^{1/3}=(16x^8)^{1/4}=2x^2,$$

to

$$\frac12\log4x^4+\frac13\log8x^6+\frac14\log16x^8-3 =\log\frac{(2x^2)^3}{1000}=\log\frac{x^6}{125}.$$

a) W podstawie potęgi

$$2\log_8\sqrt2+\log_8 32-1 =2\cdot\frac16+\frac53-1=1.$$

Zatem całe wyrażenie ma wartość $1^{\log_3 5}=1$.

b)

$$\log_2\frac18-\log_3\frac32+\log_3 4{,}5 =-3+\log_3\frac{4{,}5}{1{,}5}=-2.$$

Ponadto $\log_{\sqrt2}4=4$, więc $(-2)^4=16$.

c) Wykładnik zapisujemy jako jeden logarytm:

$$0{,}25\log_6 81-2\log_6 0{,}5 =\log_6 3+\log_6 4=\log_6 12.$$

Stąd $6^{\log_6 12}=12$.

d)

$$\log_{64}4+0{,}5\log_{27}3=\frac13+\frac12\cdot\frac13=\frac12,$$

zatem $9^{1/2}=3$.

Oznaczmy $p=\log_3x=-\frac14$.

a)

$$\log_3(9x^8)=2+8p=2-2=0.$$

b)

$$\log_3\frac{x^4}{81}=4p-4=-1-4=-5.$$

c)

$$\log_3\sqrt[4]{3x^6} =\frac14(1+6p)=\frac14\left(1-\frac32\right)=-\frac18.$$

d)

$$\log_3\frac{27\sqrt[3]x}{x} =3+\frac13p-p=3+\frac16=\frac{19}{6}.$$

Korzystamy z $p=\log2$ i rozkładamy liczby na iloczyny potęg $2$ i $10$.

a) $\log200=\log(2\cdot100)=p+2$.
b) $\log0{,}02=\log\frac2{100}=p-2$.
c) $\log0{,}04=\log\frac4{100}=2p-2$.
d) $\log1600=\log(2^4\cdot100)=4p+2$.

Stosujemy własności logarytmu, przy czym $p=\log_3 2$ i $q=\log_3 5$.

a) $\log_3(2^2\cdot5)=2p+q$.
b) $\log_3(2^2\cdot5^2)=2p+2q$.
c) $\log_3\frac2{5^2}=p-2q$.
d) $\log_3\frac25=p-q$.
e) $3\frac18=\frac{25}{8}=\frac{5^2}{2^3}$, więc wynik to $2q-3p$.
f) $\log_3\frac{\sqrt5}{2}=\frac12q-p$.
g) $\log_3\sqrt{10}=\frac12(p+q)$.
h) $0{,}2\sqrt2=\frac{\sqrt2}{5}$, więc wynik to $\frac12p-q$.

Z $\log4\approx0{,}6$ wynika $\log2\approx0{,}3$.

a) $80=4^2\cdot5$, zatem $\log80\approx2\cdot0{,}6+0{,}7=1{,}9$.
b) $50=2\cdot5^2$, zatem $\log50\approx0{,}3+1{,}4=1{,}7$.
c) $\log\frac54\approx0{,}7-0{,}6=0{,}1$.
d) $\log0{,}5=-\log2\approx-0{,}3$.
e) $\log2{,}5=\log\frac52\approx0{,}7-0{,}3=0{,}4$.
f) Ponieważ $0{,}64=\frac{4^3}{100}$, $\log0{,}64\approx3\cdot0{,}6-2=-0{,}2$.
g) $\log(5\sqrt2)\approx0{,}7+\frac12\cdot0{,}3=0{,}85$.
h)

$$\log(25\sqrt[3]4)\approx2\cdot0{,}7+\frac13\cdot0{,}6=1{,}6.$$