NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 306

Niech $a,x,y>0$, $a\ne1$, oraz oznaczmy

$$p=\log_a x,\qquad q=\log_a y.$$

Z definicji logarytmu $x=a^p$ i $y=a^q$. Zatem

$$\frac{x}{y}=\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}.$$

Logarytmując przy podstawie $a$, otrzymujemy

$$\log_a\frac{x}{y}=p-q=\log_a x-\log_a y.$$

To dowodzi twierdzenia o logarytmie ilorazu.

a)

$$\log_2 6=\log_2(2\cdot3)=\log_2 2+\log_2 3=1+\log_2 3.$$

Równość jest prawdziwa.

b)

$$\log500=\log(100\cdot5)=\log100+\log5=2+\log5.$$

Równość jest prawdziwa.

c)

$$\log_2\frac83=\log_2 8-\log_2 3=3-\log_2 3.$$

Równość jest prawdziwa.

d)

$$\log0{,}07=\log\frac7{100}=\log7-\log100=-2+\log7.$$

Równość jest prawdziwa.