NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 305

Sprowadzamy liczbę logarytmowaną do potęgi podstawy.

a) $64=2^6$, więc $\log_2 64=6$.
b) $512=2^9$, więc $\log_2 512=9$.
c) $\frac1{32}=2^{-5}$, więc wynik to $-5$.
d) $\frac1{1024}=2^{-10}$, więc wynik to $-10$.
e) $0{,}125=\frac18=2^{-3}$, więc wynik to $-3$.
f) $2=4^{1/2}$, więc wynik to $\frac12$.
g) $8=4^{3/2}$, więc wynik to $\frac32$.
h) $\frac1{1024}=4^{-5}$, więc wynik to $-5$.
i) $\frac1{\sqrt2}=4^{-1/4}$, więc wynik to $-\frac14$.
j) $4=(\sqrt2)^4$, więc wynik to $4$.
k) $32=(\sqrt2)^{10}$, więc wynik to $10$.
l) $\sqrt3=3^{1/2}$, więc wynik to $\frac12$.
m) $\sqrt{27}=3^{3/2}$, więc wynik to $\frac32$.
n) $\frac1{81}=3^{-4}$, więc wynik to $-4$.
o) $625=5^4$, więc wynik to $4$.
p) $0{,}04=\frac1{25}=5^{-2}$, więc wynik to $-2$.

Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi tej samej liczby.

a) $(3^{-1})^x=3$, zatem $-x=1$ i $x=-1$.
b) $(10^{-1})^x=10^6$, zatem $x=-6$.
c) $(2^{-1})^x=2^{-7}$, zatem $x=7$.
d) $(4^{-1})^x=4^2$, zatem $x=-2$.
e) $(5^{-1})^x=5^3$, zatem $x=-3$.
f) $(6^{-1})^x=6^{-3}$, zatem $x=3$.
g) $(3^{-1})^x=3^{1/2}$, zatem $x=-\frac12$.
h) $(2^{-1})^x=2^{3/2}$, zatem $x=-\frac32$.

Korzystamy z $a^{\log_a b}=b$ i w razie potrzeby zapisujemy podstawę jako potęgę podstawy logarytmu.

a) $2^{\log_2 9}=9$.
b) $\left(\frac13\right)^{\log_{1/3}5}=5$.
c)

$$\left(\frac12\right)^{\log_2 9} =2^{-\log_2 9}=\frac19.$$

d) $\left(\frac14\right)^{\log_{1/4}3}=3$.
e)

$$4^{\log_2 9}=2^{2\log_2 9}=9^2=81.$$

f)

$$81^{\log_3 0{,}5}=3^{4\log_3 0{,}5}=(0{,}5)^4=\frac1{16}.$$

g)

$$(\sqrt2)^{\log_2 9}=2^{\frac12\log_2 9}=\sqrt9=3.$$

h)

$$(\sqrt3)^{\log_3 16}=3^{\frac12\log_3 16}=\sqrt{16}=4.$$

Logarytm dziesiętny liczby $10^p$ jest równy $p$.

a) $1000=10^3$, więc $\log1000=3$.
b) $0{,}1=10^{-1}$, więc $\log0{,}1=-1$.
c) $\log10^6=6$.
d) $0{,}0001=10^{-4}$, więc wynik to $-4$.
e) $\sqrt{10}=10^{1/2}$, więc wynik to $\frac12$.
f) $10\sqrt{10}=10^{3/2}$, więc wynik to $\frac32$.

a)

$$\log100+\log_4\frac18=2+\log_4 2^{-3} =2-\frac32=\frac12.$$

b) Ponieważ $\log_{0{,}5}8=-3$, mamy

$$\log10^7-\log_{0{,}5}8=7-(-3)=10.$$

c)

$$\log_6\frac1{36}+\log\sqrt[3]{10} =-2+\frac13=-\frac53.$$

d) Oba logarytmy są równe $\frac14$, więc ich różnica wynosi $0$.

e) $\frac94=\left(\frac32\right)^2$ oraz $\log_\pi1=0$, zatem wynik to $2$.

f)

$$\log_{2/3}\frac32=-1,\qquad \log_{3/2}\frac8{27}=-3,$$

więc $-1-(-3)=2$.

Z definicji $\log_a b=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c=b$.

a) $a^2=25$, a podstawa musi być dodatnia, więc $a=5$.
b) $a^3=\frac18$, zatem $a=\frac12$.
c) $a^{-1}=\frac14$, zatem $a=4$.
d) $a^{-3}=64$, czyli $a^3=\frac1{64}$, zatem $a=\frac14$.

Z definicji logarytmu $b=a^c$, gdy $\log_a b=c$.

a) $b=2^5=32$.
b) $b=\left(\frac12\right)^{-1}=2$.
c) $b=27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=9$.
d) $b=7^0=1$.
e) $b=\left(\frac1{16}\right)^{-3/4}=8$.
f) $b=(\sqrt2)^{-6}=2^{-3}=\frac18$.
g) $b=10^6$.
h) $b=10^{-1}=\frac1{10}$.

Obliczamy logarytmy kolejno od najbardziej wewnętrznego.

a) $\log100=2$, więc $\log_2(\log100)=\log_2 2=1$.
b) $\log_2 1024=10$, więc $\log_{0{,}1}10=-1$.
c) $\log_2 8=3$, a $(\frac19)^{-1/2}=3$, więc wynik to $-\frac12$.
d) $\log_{1/2}\frac1{16}=4$, a $\log_{\sqrt2}4=4$.
e)

$$\log_3 9=2,\quad \log_8 2=\frac13,\quad \log_9\frac13=-\frac12.$$

f)

$$\log_4 2=\frac12,\quad \log_{1/4}\frac12=\frac12,\quad \log_8\frac12=-\frac13.$$

a) Podstawa logarytmu wymaga $a>0$ i $a\ne1$. Wtedy $\log_a a^3=3$.

b) Pierwiastek i podstawa wymagają $a>0$, a ponadto $a\ne1$. Ponieważ $\frac1{\sqrt a}=a^{-1/2}$, wynik to $-\frac12$.

c) Dla $a>0$, $a\ne1$ mamy

$$\frac{\sqrt a}{a^3}=a^{-5/2},\qquad \log_a a^{-5/2}=-\frac52.$$

d) Musi być $a^2>0$ i $a^2\ne1$, czyli $a\in\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}$. Wówczas

$$a^{10}=(a^2)^5,\qquad \log_{a^2}a^{10}=5.$$

e) Podstawa $\sqrt a$ wymaga $a>0$ i $a\ne1$. Ponieważ $a^4=(\sqrt a)^8$, otrzymujemy $\log_{\sqrt a}a^4=8$.