NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 304

Wszystkie cztery logarytmy są dodatnie. W każdym podpunkcie przypuśćmy przeciwnie, że rozważany logarytm jest liczbą wymierną, i zapiszmy go w postaci $\frac mn$, gdzie $m,n\in\mathbb N_+$. Korzystamy z jednoznaczności rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze.

a) Gdyby $\log_2 5=\frac mn$, to

$$5=2^{m/n}\quad\Longrightarrow\quad 5^n=2^m.$$

Lewa strona ma w rozkładzie wyłącznie czynnik pierwszy $5$, a prawa wyłącznie czynnik $2$, co jest niemożliwe.

b) Gdyby $\log_3 5=\frac mn$, to

$$5^n=3^m.$$

Równość przeczy jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze, ponieważ jej strony mają odpowiednio czynniki $5$ i $3$.

c) Liczba $\log_2 6$ jest dodatnia. Gdyby była równa $\frac mn$ dla $m,n\in\mathbb N_+$, otrzymalibyśmy

$$6^n=2^m,$$

czyli $2^n3^n=2^m$. Lewa strona jest podzielna przez $3$, a prawa nie, więc jest to sprzeczność.

d) Liczba $\log_6 2$ także jest dodatnia. Założenie $\log_6 2=\frac mn$ prowadzi do

$$2^n=6^m=2^m3^m.$$

Prawa strona jest podzielna przez $3$, natomiast lewa nie. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Korzystamy bezpośrednio z własności $\log_a a^x=x$ oraz $a^{\log_a b}=b$:

a) $\log_2 2^{100}=100$;
b) $\log_6 6^{15}=15$;
c) $\log_{1{,}1}1{,}1^{10}=10$;
d) $\log_\pi\pi^{-3}=-3$;
e) $2^{\log_2 3}=3$;
f) $3^{\log_3 7}=7$;
g) $0{,}4^{\log_{0{,}4}10}=10$;
h) $5^{\log_5 1}=1$.

Wybieramy wiersz odpowiadający pierwszym dwóm cyfrom liczby i kolumnę odpowiadającą części setnej:

a) wiersz $1{,}5$, kolumna $0{,}00$: $\log1{,}5\approx0{,}1761$;
b) wiersz $1{,}1$, kolumna $0{,}01$: $\log1{,}11\approx0{,}0453$;
c) wiersz $1{,}6$, kolumna $0{,}02$: $\log1{,}62\approx0{,}2095$;
d) wiersz $1{,}6$, kolumna $0{,}08$: $\log1{,}68\approx0{,}2253$.