NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 302

W każdym wzorze składnik wykładniczy jest dodatni. Przesunięcie pionowe wyznacza więc dolny kraniec zbioru wartości i asymptotę.

a) $2^x>0$, zatem

$$ZW_f=(2;\infty),\qquad y=2.$$

Funkcja nie ma miejsca zerowego.

b)

$$3^x-1=0\iff3^x=1\iff x=0.$$

Mamy $ZW_f=(-1;\infty)$ i asymptotę $y=-1$.

c)

$$\left(\frac12\right)^x-1=0 \iff\left(\frac12\right)^x=1\iff x=0.$$

Ponownie $ZW_f=(-1;\infty)$ i $y=-1$.

d)

$$\left(\frac13\right)^x-3=0 \iff\left(\frac13\right)^x=3 =\left(\frac13\right)^{-1},$$

więc $x=-1$. Zbiór wartości to $(-3;\infty)$, a asymptota ma równanie $y=-3$.

e)

$$4^{-x}-4=0\iff4^{-x}=4^1\iff x=-1.$$

Stąd $ZW_f=(-4;\infty)$ i asymptota $y=-4$.

f) Ponieważ $3^{-x}+1>1$, funkcja nie ma miejsca zerowego. Jej zbiorem wartości jest $(1;\infty)$, a asymptotą prosta $y=1$.

Ze skanu odczytujemy, że punkt $(3,5)$ należy do wykresu. Podstawiamy jego współrzędne:

$$5=2^3+a=8+a,$$ $$a=-3.$$

Podstawiamy współrzędne punktu $P$ do równania $y=2^x+a$.

a)

$$-3=2^0+a=1+a\iff a=-4.$$

b)

$$7=2^2+a=4+a\iff a=3.$$

c)

$$0=2^4+a=16+a\iff a=-16.$$

Przekształcamy wzór do jednej potęgi i porównujemy jej wykładnik z zerem.

a)

$$4\cdot2^x=2^{x+2}\geqslant1=2^0 \iff x\geqslant-2.$$

b)

$$\frac{2^x}{8}=2^{x-3}\geqslant1 \iff x\geqslant3.$$

c)

$$\frac{0{,}04}{5^x} =\frac{5^{-2}}{5^x}=5^{-x-2}\geqslant1 \iff -x-2\geqslant0 \iff x\leqslant-2.$$

Po pomnożeniu nierówności przez $-1$ zmieniamy jej zwrot.

a)

$$-2^{x-2}\geqslant-1 \iff2^{x-2}\leqslant1 \iff x\leqslant2.$$

b)

$$-3^{x+1}\geqslant-1 \iff3^{x+1}\leqslant1 \iff x\leqslant-1.$$

c)

$$-\left(\frac12\right)^{x+3}\geqslant-1 \iff\left(\frac12\right)^{x+3}\leqslant1.$$

Dla podstawy $\frac12$ ostatnia nierówność zachodzi, gdy $x+3\geqslant0$, czyli $x\geqslant-3$.

Wykres $g(x)=-f(x)$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OX$, dlatego zbiór wartości również odbija się względem zera.

a) Dla $f(x)=2^x-3$ mamy

$$ZW_f=(-3;\infty).$$

Stąd $g(x)=-2^x+3$ i $ZW_g=(-\infty;3)$.

b) Dla $f(x)=3^x+1$:

$$ZW_f=(1;\infty),\qquad g(x)=-3^x-1,\qquad ZW_g=(-\infty;-1).$$

c) Dla $f(x)=\left(\frac12\right)^x-2$:

$$ZW_f=(-2;\infty),\qquad g(x)=-\left(\frac12\right)^x+2,\qquad ZW_g=(-\infty;2).$$

Rozróżniamy wykresy przez monotoniczność, asymptotę i punkt charakterystyczny.

• $h(x)=(\sqrt3)^{-x}-1$ jest malejąca, ma asymptotę $y=-1$ i przechodzi przez $(0,0)$, więc odpowiada wykresowi I.
• $f(x)=(\sqrt3)^{x-1}$ jest rosnąca, ma asymptotę $y=0$ i przyjmuje wartość $1$ dla $x=1$, więc odpowiada wykresowi II.
• $g(x)=(\sqrt3)^x-1$ jest rosnąca, ma asymptotę $y=-1$ i przechodzi przez $(0,0)$, więc odpowiada wykresowi III.

Przesunięcie wykresu $f$ o wektor $[p,q]$ daje

$$g(x)=f(x-p)+q.$$

a) Dla $[0,-3]$:

$$g(x)=5^x-3,\qquad ZW_g=(-3;\infty).$$

b) Dla $[1,2]$:

$$g(x)=5^{x-1}+2,\qquad ZW_g=(2;\infty).$$

c) Dla $[-2,4]$:

$$g(x)=5^{x+2}+4,\qquad ZW_g=(4;\infty).$$

a)

$$2^{x-2}-4=0 \iff2^{x-2}=2^2 \iff x=4.$$

Ponieważ $2^{x-2}>0$, mamy $ZW_f=(-4;\infty)$.

b)

$$3^{x+1}-1=0\iff3^{x+1}=1\iff x=-1,$$

a $ZW_f=(-1;\infty)$.

c)

$$f(x)=2^{2-x}+2>2.$$

Funkcja nie ma miejsca zerowego i $ZW_f=(2;\infty)$.

d)

$$3-\frac9{3^x}=0 \iff3^{2-x}=3^1 \iff x=1.$$

Od liczby $3$ odejmujemy dowolną liczbę dodatnią, więc $ZW_f=(-\infty;3)$.

e)

$$(\sqrt2)^{2x-4}-1 =2^{x-2}-1.$$

Stąd $x_0=2$ i $ZW_f=(-1;\infty)$.

f)

$$1-2^{-x+3}=0 \iff2^{3-x}=1 \iff x=3.$$

Ponieważ odejmowana potęga jest dodatnia, $ZW_f=(-\infty;1)$.