NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 301

Zapisujemy każdy wzór jako potęgę liczby $2$.

a)

$$f(x)=\frac{2^x}{2^4}=2^{x-4}.$$

Wykres przesuwamy o $4$ jednostki w prawo. Ponieważ $2^t\geqslant1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $t\geqslant0$, mamy $x\geqslant4$.

b)

$$f(x)=\frac{2^x}{2^{10}}=2^{x-10}.$$

Jest to przesunięcie o $10$ jednostek w prawo, a nierówność zachodzi dla $x\geqslant10$.

c)

$$f(x)=2^{\frac12}\cdot2^x=2^{x+\frac12}.$$

Wykres przesuwamy o $\frac12$ jednostki w lewo. Warunek $x+\frac12\geqslant0$ daje $x\geqslant-\frac12$.

a) Wykres $2^x$ przesuwamy o wektor $[1,2]$. Składnik wykładniczy jest dodatni, więc

$$ZW_f=(2;\infty),\qquad y=2.$$

b)

$$f(x)=2^{x-2}-2.$$

Jest to przesunięcie o $[2,-2]$, zatem

$$ZW_f=(-2;\infty),\qquad y=-2.$$

c)

$$f(x)=\frac{2^{x+3}}4+1=2^{x+1}+1.$$

Wykres przesuwamy o $[-1,1]$, więc

$$ZW_f=(1;\infty),\qquad y=1.$$

Znak minus przed wartością funkcji oznacza odbicie wykresu względem osi $OX$. Odbicie odwraca monotoniczność.

a) Funkcja $3^x$ jest rosnąca, więc $-3^x$ jest malejąca.
b) Funkcja $4^x$ jest rosnąca, więc $-4^x$ jest malejąca.
c) Funkcja $\left(\frac12\right)^x$ jest malejąca, więc $-\left(\frac12\right)^x$ jest rosnąca.

Każdy szkic przechodzi przez $(0,-1)$, leży poniżej osi $OX$ i ma asymptotę $y=0$.

a) Najpierw szkicujemy rosnący wykres $f(x)=2^x$. Ponieważ

$$g(x)=2^{-x}=f(-x),$$

wykres $g$ jest odbiciem wykresu $f$ względem osi $OY$. Następnie $h(x)=g(x)+2$, więc wykres $g$ przesuwamy o $2$ jednostki w górę. Pomocnicze wartości:

b) Analogicznie $g(x)=4^{-x}=f(-x)$ jest odbiciem $4^x$ względem osi $OY$, a $h(x)=g(x)-1$ powstaje przez przesunięcie o $1$ jednostkę w dół: