NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 299

a) Sprowadzamy liczby do potęg o podstawie $2$:

$$4^{\frac{\sqrt3}{2}}=2^{\sqrt3},\quad 8^{\frac12}=2^{\frac32},\quad 16^{\frac{\sqrt2}{4}}=2^{\sqrt2},$$ $$32^{\frac\pi{10}}=2^{\frac\pi2},\qquad 256^{\frac14}=2^2.$$

Ponieważ

$$2>\sqrt3>\frac\pi2>\frac32>\sqrt2,$$

otrzymujemy żądaną kolejność.

b) Zapisujemy wszystko przy podstawie $\frac13$:

$$\left(\frac13\right)^{3\sqrt2},\quad \left(\frac13\right)^{5{,}2},\quad \left(\frac13\right)^{\frac92},\quad \left(\frac13\right)^6,\quad \left(\frac13\right)^5.$$

Podstawa jest mniejsza od $1$, więc mniejszy wykładnik daje większą wartość. Korzystamy z

$$3\sqrt2<\frac92<5<5{,}2<6.$$

Dobieramy argumenty tak, aby potęga usunęła pierwiastek z podstawy.

a) Dla wykładników parzystych:

$$f(-2)=\frac13,\qquad f(0)=1,\qquad f(2)=3.$$

b) Ponieważ $\frac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}$:

$$f(-2)=2,\qquad f(0)=1,\qquad f(2)=\frac12.$$

c) Dla wykładników podzielnych przez $3$:

$$f(-3)=\frac12,\qquad f(0)=1,\qquad f(3)=2.$$

Punkty należy zaznaczyć, a następnie poprowadzić przez nie gładkie krzywe z asymptotą poziomą $y=0$. Wykres w b) jest malejący, pozostałe są rosnące.

Szkicujemy obie funkcje i zaznaczamy odcięte ich punktów przecięcia.

a) Równość zachodzi dla $x=0$ i $x=2$, bo odpowiednio $1=1$ oraz $9=9$. Wykres $3^x$ leży nad prostą poza przedziałem między punktami przecięcia.

b) Dla $x=0$ obie strony są równe $1$, a dla $x=2$ są równe $4$. Wykres $2^x$ leży nad prostą na zewnątrz przedziału $[0;2]$.

c) Dla $x=1$ mamy $4^1=5-1=4$. Wykres wykładniczy jest nie niżej od prostej dla $x\geqslant1$.

d) Dla $x=-1$ mamy $\left(\frac13\right)^{-1}=3=-1+4$. Funkcja wykładnicza jest malejąca, a prosta rosnąca, więc nierówność zachodzi dla $x\leqslant-1$.

e) Również tutaj jedyny punkt przecięcia ma odciętą $-1$:

$$\left(\frac14\right)^{-1}=4 =\frac14(-1)+\frac{17}{4}.$$

Z tych samych monotoniczności otrzymujemy $x\leqslant-1$.

f) Punkty przecięcia mają odcięte $-1$ i $0$:

$$\left(\frac12\right)^{-1}=2=|-1|+1,\qquad \left(\frac12\right)^0=1=|0|+1.$$

Porównanie wykresów daje rozwiązania na lewo od $-1$ oraz pojedynczy punkt $x=0$.

Dzielimy obie strony przez dodatnią potęgę i porównujemy wynik z $1$.

a)

$$2^x>3^x\iff\left(\frac23\right)^x>1.$$

Dla podstawy z $(0;1)$ zachodzi to wtedy i tylko wtedy, gdy $x<0$.

b)

$$3^x\leqslant4^x\iff\left(\frac34\right)^x\leqslant1,$$

czyli $x\geqslant0$.

c)

$$\left(\frac12\right)^x\leqslant\left(\frac13\right)^x \iff\left(\frac32\right)^x\leqslant1,$$

czyli $x\leqslant0$.

d)

$$\left(\frac14\right)^x<3^x \iff\left(\frac1{12}\right)^x<1,$$

czyli $x>0$.

Korzystając z $e\approx2{,}71828$, otrzymujemy:

$$2\sqrt2\approx2{,}8284, \qquad e^{1{,}5}\approx4{,}4817,$$ $$e^{\sqrt3}\approx5{,}6522, \qquad(\sqrt e)^4=e^2\approx7{,}3891.$$

Ostatnią liczbą jest $9$, więc wszystkie wartości dają się bezpośrednio uporządkować.