NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 298

Dla wykładnika ujemnego odwracamy potęgę, a dla $\pm\frac12$ korzystamy z pierwiastka. Otrzymujemy:

Z warunku $P(2,16)$ mamy

$$a^2=16.$$

Podstawa funkcji wykładniczej jest dodatnia, więc $a=4$ i $f(x)=4^x$.

a) $f\left(\frac12\right)=\sqrt4=2$, więc punkt należy.
b) $f(5)=4^5=1024$, więc punkt należy.
c) $f(-3)=4^{-3}=\frac1{64}\ne\frac1{16}$, więc punkt nie należy.
d) $f\left(-\frac14\right)=4^{-\frac14}=\frac{\sqrt2}{2}$, więc punkt należy.

Z warunku $P(2,2)$ wynika

$$a^2=2,$$

czyli $a=\sqrt2$.

a) $f(1)=\sqrt2\ne1$, więc punkt nie należy.
b) $f(4)=(\sqrt2)^4=4$, więc punkt należy.
c) $f(8)=(\sqrt2)^8=16\ne8$, więc punkt nie należy.
d) $f(-8)=(\sqrt2)^{-8}=\frac1{16}$, więc punkt należy.

Dla funkcji wykładniczej wybieramy dodatnią podstawę.

a)

$$a^2=\frac19\iff a=\frac13,$$

więc $f(x)=\left(\frac13\right)^x$.

b)

$$a^{-3}=8\iff a^3=\frac18\iff a=\frac12,$$

więc $f(x)=\left(\frac12\right)^x$.

c)

$$a^{\frac12}=2\iff a=4,$$

więc $f(x)=4^x$.

d)

$$a^3=3\frac38=\frac{27}{8} \iff a=\frac32,$$

więc $f(x)=\left(\frac32\right)^x$.

Pierwsze dwa wykresy są malejące, a dwa ostatnie rosnące. Każdy przechodzi przez $(0,1)$ i przez podany punkt $M$.

Jeżeli podstawa jest większa od $1$, kolejność potęg jest taka jak kolejność wykładników. Dla podstawy z $(0;1)$ kolejność się odwraca.

a) Mamy

$$0{,}3<0{,}33<\frac13<\frac12,$$

więc

$$5^{0{,}3}<5^{0{,}33}<5^{\frac13}<5^{\frac12}.$$

b) Ponieważ $\sqrt5<3{,}1<\pi<3{,}2$, otrzymujemy

$$7^{\sqrt5}<7^{3{,}1}<7^\pi<7^{3{,}2}.$$

c) Porządkujemy wykładniki:

$$\frac13<0{,}35<\frac38<\frac37<\frac12.$$

Podstawa $0{,}6$ jest mniejsza od $1$, zatem

$$0{,}6^{\frac12}<0{,}6^{\frac37}<0{,}6^{\frac38} <0{,}6^{0{,}35}<0{,}6^{\frac13}.$$

d) Mamy

$$\sqrt2<1{,}5<\frac\pi2<\sqrt3<2.$$

Dla podstawy $\frac13$ kolejność wartości jest odwrotna:

$$\left(\frac13\right)^2 <\left(\frac13\right)^{\sqrt3} <\left(\frac13\right)^{\frac\pi2} <\left(\frac13\right)^{1{,}5} <\left(\frac13\right)^{\sqrt2}.$$

Funkcja $a^x$ jest malejąca dla $0<a<1$ i rosnąca dla $a>1$.

a) $0<\frac{\sqrt2}{2}<1$, więc funkcja jest malejąca.
b) $0<\sqrt3-1<1$, więc funkcja jest malejąca.
c) $\sqrt5-1>1$, więc funkcja jest rosnąca.

a) Podstawa $2>1$, a

$$\frac75<\sqrt2<\frac32<\sqrt3.$$

Zachowujemy więc kolejność wykładników.

b) Dla podstawy $\frac34<1$ kolejność odwracamy. Ponieważ

$$6>\sqrt{26}>5>2\sqrt6,$$

otrzymujemy kolejność wskazaną w odpowiedzi.

c) Podstawa $\pi>1$ oraz

$$\frac1\pi<\frac13<\frac37<\frac12.$$

d) Podstawa $9>1$ i

$$-2<-\sqrt\pi<-\sqrt3<0.$$