NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 296

Do szkicu wystarczą na przykład wartości:

Wszystkie trzy funkcje są rosnące i mają asymptotę poziomą $y=0$. Ponieważ dla każdej dodatniej podstawy $a$ zachodzi $a^0=1$, wszystkie wykresy przechodzą przez $(0,1)$.

Jeżeli miałyby drugi punkt wspólny o odciętej $x\ne0$, to na przykład $2^x=3^x$, czyli $\left(\frac23\right)^x=1$, co dla $x\ne0$ jest niemożliwe.

a) Dla $x>0$ większa podstawa daje większą wartość funkcji. Z odczytu kolorów na skanie wynika więc:

• wykres zielony: $f(x)=2^x$;
• wykres czerwony: $g(x)=\left(\frac32\right)^x$;
• wykres niebieski: $h(x)=\left(\frac43\right)^x$.

b) Korzystamy ze wzoru funkcji $g$:

$$a=g(4)=\left(\frac32\right)^4=\frac{81}{16},$$ $$b=g(-2)=\left(\frac32\right)^{-2}=\frac49.$$

Ponadto

$$3\frac38=\frac{27}{8}=\left(\frac32\right)^3,$$

zatem $c=3$.

c) Sprawdzamy drugie współrzędne we wzorze $h(x)=\left(\frac43\right)^x$:

$$h(4)=\frac{256}{81}\ne3\frac{15}{81},$$ $$h(-4)=\left(\frac34\right)^4=\frac{81}{256},$$ $$h\left(-\frac12\right) =\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Do wykresu $h$ należą więc punkty $B$ i $C$.