NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 295

Sprowadzamy czynniki do potęg o podstawie $3$.

a)

$$3^4\cdot3^{1-\sqrt2}=3^{5-\sqrt2}.$$

b)

$$3^3:3^{2-\sqrt2}=3^{1+\sqrt2}.$$

c)

$$\left(3^{\sqrt7-\sqrt3}\right)^{\sqrt7+\sqrt3} =3^{7-3}=3^4.$$

d)

$$\left(3^{\sqrt3}\right)^{1-\sqrt3} =3^{\sqrt3-3}.$$

e)

$$6^{\sqrt7}:2^{\sqrt7} =\left(\frac62\right)^{\sqrt7}=3^{\sqrt7}.$$

f)

$$(\sqrt3)^\pi\cdot(\sqrt3)^\pi =(3^{\frac12})^{2\pi}=3^\pi.$$

a)

$$6^{1-\sqrt2}\cdot6^{\sqrt2+1}=6^2=36.$$

b)

$$5^{\pi+3}:5^\pi=5^3=125.$$

c) Zamieniamy $\frac35$ na odwrotność $\frac53$:

$$\left(\frac53\right)^{1-\sqrt6} \cdot\left(\frac53\right)^{\sqrt6+2} =\left(\frac53\right)^3=\frac{125}{27}.$$

d)

$$2^{3\sqrt5}\cdot(2^3)^{-\sqrt5}=1.$$

e)

$$(2^2)^{\sqrt3}:2^{2\sqrt3}=1.$$

f)

$$\frac{7^{\frac56}}{7^{\frac13}7^{\frac12}}=1, \qquad \frac{7^{\sqrt5+5}}{7^{\sqrt5+2}}=7^3,$$

zatem cały iloczyn jest równy $343$.

g)

$$(2\cdot3)^{\sqrt3}\cdot3^{1-\sqrt3}\cdot2^{-\sqrt3}=3.$$

h)

$$\frac{4^{\pi+3}\cdot3^\pi}{12^\pi} =4^3\left(\frac{4\cdot3}{12}\right)^\pi=64.$$

i) Pierwszy czynnik ma wartość

$$6^{\frac23+\frac32-\frac16}=6^2=36.$$

Drugi czynnik jest równy

$$\left(6^{\sqrt5-2}\right)^{\sqrt5+2} =6^{5-4}=6.$$

Iloczyn wynosi $36\cdot6=216$.

a)

$$2^{\sqrt7-2}\cdot4^3 =2^{\sqrt7-2+6}=2^{\sqrt7+4}.$$

b)

$$2^{\sqrt3}\cdot\sqrt2=2^{\sqrt3+\frac12}.$$

c)

$$(3^2)^{\frac{\sqrt5}{2}}\cdot(3^3)^{-1} =3^{\sqrt5-3}.$$

d)

$$27\cdot\left(3^{-\sqrt3}\right)^2 =3^{3-2\sqrt3}.$$

e)

$$3^{-1}\cdot(3^2)^{\pi+\frac12}:(3^4)^{2\pi} =3^{-1+2\pi+1-8\pi}=3^{-6\pi}.$$

f)

$$7^{-2\sqrt2}:(7^2)^{\pi+\sqrt2} =7^{-2\sqrt2-2\pi-2\sqrt2} =7^{-4\sqrt2-2\pi}.$$

a)

$$q=4^{\sqrt3-1}:\frac14=4^{\sqrt3} =\left(2^{\sqrt3}\right)^2.$$

Z podanego przybliżenia $2^{\sqrt3}\approx3{,}322$ wynika $q\approx11{,}036>6$, więc $q\notin(3;6)$.

b)

$$q=2^{-(\sqrt3+1)}\cdot(2\cdot3)^{\sqrt3} =\frac{3^{\sqrt3}}2 \approx3{,}3525.$$

Zatem $q\in(3;6)$.

c) Mianownik upraszczamy:

$$\left(\sqrt{2^{\sqrt2}}\right)^{\sqrt2} =\left(2^{\frac{\sqrt2}{2}}\right)^{\sqrt2}=2.$$

Stąd $q=\frac{6^{\sqrt3}}2\approx11{,}137>6$, więc liczba nie należy do przedziału.

d)

$$q=\left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{\sqrt3}{4}} =\left(\frac32\right)^{\sqrt3} =\frac{3^{\sqrt3}}{2^{\sqrt3}} \approx2{,}018<3.$$

Zatem $q\notin(3;6)$.

a) Przy podstawie $2$ mamy

$$x=2^{4\sqrt2},\qquad y=2^{\sqrt2},\qquad z=2^{-\sqrt2}.$$

Wykładniki $y$ i $z$ są przeciwne, więc $yz=1$.

b) Wszystkie liczby zapisujemy przy podstawie $\frac32$:

$$x=\left(\frac32\right)^{4-2\sqrt3},$$ $$y=\left(\frac32\right)^{-4-2\sqrt3}, \qquad z=\left(\frac32\right)^{2\sqrt3-4}.$$

Wykładniki $x$ i $z$ są przeciwne.

c)

$$x=5^{3-6\sqrt5},\qquad y=5^{4-6\sqrt5}.$$

Ponieważ $0{,}0016=5^{-4}$ i $\sqrt{180}=6\sqrt5$, to

$$z=5^{-4+6\sqrt5}=y^{-1}.$$

Sprowadzamy obie strony porównania do potęg o wspólnej podstawie.

a)

$$2^{5\sqrt5}\cdot32^{2-\sqrt5} =2^{5\sqrt5+10-5\sqrt5}=2^{10}=4^5,$$

więc wstawiamy $=$.

b)

$$9^{\frac{\sqrt7}{2}}\cdot27^{-\frac{\sqrt7}{3}} =3^{\sqrt7-\sqrt7}=1<3.$$

c)

$$\frac{2^{4\sqrt3+3}}{2^{4\sqrt3+4}}=2^{-1}=\frac12.$$

d)

$$\frac{3^{-4\sqrt5+1}}{3^{4-4\sqrt5}} =3^{-3}=\frac1{27}.$$

e)

$$\frac{\pi^{1-\sqrt2+1+\sqrt2}}{\pi^2}=1 >\frac1{\pi^3}.$$

f)

$$\frac{2^{2\pi}\cdot3^{2\pi}}{6^{2\pi-2}} =\frac{6^{2\pi}}{6^{2\pi-2}}=6^2>6.$$

Ponieważ podstawa $5$ jest dodatnia i różna od $1$, równe potęgi mają równe wykładniki.

a)

$$5^{\sqrt2+x}=1=5^0 \iff x=-\sqrt2.$$

b)

$$5^{1-\pi+x}=5^1 \iff x=\pi.$$

c)

$$\left(5^{\sqrt2}\right)^x=5^{\sqrt2 x}=5^2 \iff x=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2.$$