NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 294

Obliczamy z większą dokładnością niż wymagana:

$$3^\pi=31{,}5442807001\ldots,$$ $$5^\pi=156{,}992545308\ldots,$$ $$\pi^\pi=36{,}4621596072\ldots.$$

Następnie zaokrąglamy do czterech cyfr po przecinku.

a) Zastosowano wzór na potęgę potęgi:

$$(a^x)^y=a^{xy}.$$

b) Zastosowano wzór na iloraz potęg o tym samym wykładniku:

$$\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac ab\right)^x.$$

c) Zastosowano wzór na iloczyn potęg o tym samym wykładniku:

$$a^x b^x=(ab)^x.$$

d) Zastosowano wzór na iloczyn potęg o tej samej podstawie:

$$a^x a^y=a^{x+y}.$$

a)

$$\left(5^{\sqrt3}\right)^{\sqrt3} =5^{(\sqrt3)^2}=5^3=125.$$

b)

$$\left(3^{\sqrt2}\right)^{2\sqrt2} =3^{\sqrt2\cdot2\sqrt2}=3^4=81.$$

c)

$$\left(5^{\sqrt3-1}\right)^{\sqrt3+1} =5^{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=5^2=25.$$

d)

$$\left(2^{\sqrt7-\sqrt2}\right)^{\sqrt7+\sqrt2} =2^{7-2}=2^5=32.$$

e)

$$7^{\sqrt2}\cdot(7^2)^{-\frac{\sqrt2}{2}} =7^{\sqrt2-\sqrt2}=1.$$

f)

$$(3^2)^{\sqrt5}\cdot3^{1-2\sqrt5} =3^{2\sqrt5+1-2\sqrt5}=3.$$

g)

$$\frac{2^{\sqrt3+6}}{2^{\sqrt3+1}} =2^5=32.$$

h)

$$\frac{6^{\sqrt3+1}\cdot2^{-\sqrt3}}{3^{\sqrt3}} =6\left(\frac6{2\cdot3}\right)^{\sqrt3}=6.$$