NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 29

Współczynnik przy $x^2$ jest równy $2\ne0$, więc dla każdego $m$ mamy równanie kwadratowe. Jego wyróżnik wynosi

$$\Delta=m^2-4\cdot2\cdot(-3)=m^2+24>0$$

dla każdego $m\in\mathbb R$. Równanie ma więc zawsze dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Wyróżnik równania względem $x$ jest równy

$$\Delta=(m+1)^2-4(m^2+1) =-3m^2+2m-3.$$

Domykamy kwadrat:

$$\Delta=-3\left(m-\frac13\right)^2-\frac83<0$$

dla każdego $m\in\mathbb R$. Równanie nigdy nie ma rozwiązania rzeczywistego.

Dla dwóch różnych, niezerowych pierwiastków

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=-\frac bc.$$

a) Równanie jest kwadratowe dla $m\ne-3$, a

$$\Delta=(m+2)^2-4(m+3)=m^2-8.$$

Warunek $\Delta>0$ daje $m<-2\sqrt2$ lub $m>2\sqrt2$. Ponadto

$$-(m+2)>-6 \iff m<4.$$

Po połączeniu warunków i wykluczeniu $m=-3$ otrzymujemy

$$m\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4).$$

b) Równanie jest kwadratowe dla $m\ne0$. Mamy

$$\Delta=(m-1)^2-4m=m^2-6m+1,$$

więc $\Delta>0$ dla $m<3-2\sqrt2$ lub $m>3+2\sqrt2$. Warunek na sumę odwrotności jest równoważny

$$-(m-1)>-6 \iff m<7.$$

Zatem

$$m\in(-\infty;0)\cup(0;3-2\sqrt2)\cup(3+2\sqrt2;7).$$

Korzystamy ze wzoru

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

a) Suma pierwiastków to $1-k$, a iloczyn $4$. Warunek zadania daje

$$(1-k)^2-8=17 \iff (1-k)^2=25,$$

czyli $k=-4$ lub $k=6$. Dla obu wartości $\Delta=9>0$.

b) Suma wynosi $k-2$, a iloczyn $\frac12k^2+1$. Zatem

$$(k-2)^2-2\left(\frac12k^2+1\right)=17 \iff 2-4k=17,$$

więc $k=-\frac{15}{4}$. Wtedy $\Delta=-k(k+4)=\frac{15}{16}>0$.

a) Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc nierówność $\geqslant0$ zachodzi dla każdego $x$ dokładnie wtedy, gdy $\Delta\leqslant0$:

$$\Delta=(k-3)^2-16k=k^2-22k+9\leqslant0.$$

Pierwiastki tego trójmianu to $11\pm4\sqrt7$, zatem

$$k\in[11-4\sqrt7;11+4\sqrt7].$$

b) Dla funkcji kwadratowej stale niedodatniej potrzeba $k-1<0$ i $\Delta\leqslant0$. Tutaj

$$\Delta=(-2k)^2-4(k-1)^2=8k-4,$$

więc $k\leqslant\frac12$, co automatycznie daje $k-1<0$. Przypadek liniowy $k=1$ nie spełnia nierówności dla wszystkich $x$.