NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 30

a) Równanie jest zawsze kwadratowe, a

$$\Delta=36-8m\geqslant0 \iff m\leqslant\frac92.$$

b) Współczynnik przy $x^2$ jest stały i niezerowy. Mamy

$$\Delta=(m-2)^2-2(m-2)=(m-2)(m-4)\geqslant0,$$

czyli $m\leqslant2$ lub $m\geqslant4$.

c) Dla $m=0$ równanie jest liniowe: $-4x+1=0$, więc ma rozwiązanie. Dla $m\ne0$ jest kwadratowe i

$$\Delta=16-4m\geqslant0 \iff m\leqslant4.$$

Po uwzględnieniu $m=0$ odpowiedzią jest cały przedział $m\leqslant4$.

d) Dla $m=1$ otrzymujemy sprzeczne równanie stałe $2=0$. Dla $m\ne1$ równanie jest kwadratowe, a

$$\Delta=(4-4m)^2-4(1-m)(5-3m)=4(m^2-1).$$

Warunek $\Delta\geqslant0$ daje $m\leqslant-1$ lub $m\geqslant1$; po wykluczeniu $m=1$ zostaje $m\leqslant-1$ lub $m>1$.

Wszystkie równania są moniczne. Dwa pierwiastki mają różne znaki dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn, równy wyrazowi wolnemu, jest ujemny. Ten warunek automatycznie zapewnia dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

a) $k+3<0$, więc $k<-3$.
b) $5-k<0$, więc $k>5$.
c) $2-2k<0$, więc $k>1$.
d) $4-4k<0$, więc $k>1$.

Dwa różne pierwiastki są dodatnie, gdy $\Delta>0$, $x_1+x_2>0$ oraz $x_1x_2>0$.

a)

$$\Delta=m^2-16>0,qquad x_1+x_2=m+2>0,qquad x_1x_2=m+5>0.$$

Częścią wspólną warunków jest $m>4$.

b)

$$\Delta=4(4m+3)(m-1)>0,quad x_1+x_2=-4m>0,quad x_1x_2=m+3>0.$$

Otrzymujemy $-3<m<-\frac34$.

c) Suma $5-2m$ jest dodatnia dla $m<\frac52$, natomiast iloczyn $2m-6$ jest dodatni dla $m>3$. Warunki są sprzeczne.

d)

$$\Delta=(m+5)^2>0,quad x_1+x_2=3m+1>0,quad x_1x_2=(2m+3)(m-2)>0.$$

Ich częścią wspólną jest $m>2$; wtedy także $m\ne-5$.

Dwa różne pierwiastki są ujemne, gdy $\Delta>0$, $x_1+x_2<0$ i $x_1x_2>0$.

a)

$$\Delta=5-(m-2)^2>0,qquad x_1+x_2=-4<0,qquad x_1x_2=4m(m-4)>0.$$

Pierwszy warunek daje $2-\sqrt5<m<2+\sqrt5$, a ostatni $m<0$ lub $m>4$. Stąd

$$m\in(2-\sqrt5;0)\cup(4;2+\sqrt5).$$

b) Suma pierwiastków wynosi $\frac m2$, więc jej ujemność wymaga $m<0$. Iloczyn wynosi $m-1$, więc jego dodatniość wymaga $m>1$. Warunki są sprzeczne.

Dla trójmianu stale dodatniego wymagamy dodatniego współczynnika wiodącego i $\Delta<0$; dla nieujemnego używamy $\Delta\leqslant0$. Dla trójmianu stale niedodatniego współczynnik wiodący musi być ujemny i $\Delta\leqslant0$.

a) $\Delta=9-4k<0$, więc $k>\frac94$.

b) $\Delta=k^2-36\leqslant0$, więc $-6\leqslant k\leqslant6$.

c) $\Delta=(k-6)(k+2)<0$, więc $-2<k<6$.

d) $\Delta=k^2-4k-4\leqslant0$, więc $2-2\sqrt2\leqslant k\leqslant2+2\sqrt2$.

e) Potrzebujemy $k+1<0$ oraz

$$\Delta=4(k+2)\leqslant0.$$

Otrzymujemy $k\leqslant-2$. Przypadek liniowy $k=-1$ nie działa.

f) Potrzebujemy $k>0$ i

$$\Delta=4(1-k)<0,$$

czyli $k>1$. Przypadek liniowy $k=0$ nie działa.

Pod pierwiastkiem w liczniku wymagamy wartości nieujemnych dla każdego $x$. Pod pierwiastkiem w mianowniku wartości muszą być ściśle dodatnie.

a) Współczynnik wiodący jest dodatni, a $\Delta=k(k-4)\leqslant0$, więc $k\in[0;4]$.

b) Warunki $5-k>0$ i $\Delta=k^2-16\leqslant0$ dają $k\in[-4;4]$. Dla $k=5$ pozostaje wyrażenie liniowe, które nie jest wszędzie nieujemne.

c) Potrzebujemy $2-k>0$ oraz $4-4(2-k)^2\leqslant0$. Przy $k<2$ wynika stąd $2-k\geqslant1$, czyli $k\leqslant1$.

d) Potrzebujemy $k-4>0$ i $4k(8-k)\leqslant0$. Zatem $k\geqslant8$.

e) Trójmian $kx^2+2kx+2$ ma być dodatni. Dla $k>0$ warunek $\Delta=4k(k-2)<0$ daje $0<k<2$. Dla $k=0$ trójmian jest stałą $2$, więc również działa. Stąd $k\in[0;2)$.

f) Potrzebujemy $k>0$ i $\Delta=1-4k^2<0$, co daje $k>\frac12$.

Za każdym razem korzystamy ze wzorów Viète’a i sprawdzamy $\Delta>0$.

a) Suma pierwiastków wynosi $S=a-4$. Warunek $S>2$ daje $a>6$. Ponieważ $\Delta=(a-4)^2+8a=a^2+16>0$ dla każdego $a$, jest to odpowiedź.

b) Mamy $S=-a-1$ i $P=4$. Warunek $x_1^2+x_2^2=2S$ przyjmuje postać

$$S^2-8=2S \iff (S-4)(S+2)=0.$$

Daje to $a=-5$ lub $a=1$. Dla pierwszej wartości $\Delta=0$, a dla drugiej $\Delta<0$, więc żadna nie daje dwóch różnych pierwiastków.

c) Mamy $S=-a$, $P=2a-3$ i

$$x_1^2x_2+x_1x_2^2=PS=-a(2a-3)<0.$$

Stąd $a<0$ lub $a>\frac32$. Ponadto

$$\Delta=(a-2)(a-6)>0,$$

czyli $a<2$ lub $a>6$. Częścią wspólną jest

$$a\in(-\infty;0)\cup\left(\frac32;2\right)\cup(6;\infty).$$

d) Tutaj

$$(x_1-x_2)^2=\frac{\Delta}{(-1)^2}=4a^2+1.$$

Warunek $4a^2+1=5$ daje $a=-1$ lub $a=1$; dla obu $\Delta=5>0$.