NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 285

Trójkąt $BCD$ jest prostokątny, więc

$$BC=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5, \qquad R_{BCD}=\frac{BC}{2}=\frac{3\sqrt5}{2}\neq4{,}5.$$

Pierwsze zdanie jest fałszywe.

Dla całego trójkąta

$$AB=4+6=10, \qquad AC=\sqrt{4^2+3^2}=5,$$

a pole wynosi $P=\frac12\cdot10\cdot3=15$. Zatem

$$R_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4P} =\frac{10\cdot5\cdot3\sqrt5}{60} =\frac{5\sqrt5}{2}\neq5.$$

Drugie zdanie również jest fałszywe.

$$\alpha+\alpha+4\alpha=180^\circ, \qquad \alpha=30^\circ.$$

Kąt między ramionami ma więc $120^\circ$. Jeżeli podstawa ma długość $c$, to

$$c^2=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cos120^\circ=12,$$

czyli $c=2\sqrt3$. Obwód wynosi $4+2\sqrt3$, a nie $4+4\sqrt3$, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.

Dla środkowej poprowadzonej do jednego z ramion twierdzenie Apoloniusza daje

$$m^2=\frac{2\cdot2^2+2(2\sqrt3)^2-2^2}{4}=7.$$

Zatem $m=\sqrt7$ i drugie zdanie jest prawdziwe.

Z twierdzenia cosinusów

$$AC^2=(\sqrt3+1)^2+(\sqrt6)^2 -2(\sqrt3+1)\sqrt6\cos45^\circ.$$

Pierwsze dwa składniki dają $10+2\sqrt3$, a składnik odejmowany $6+2\sqrt3$. Zatem $AC^2=4$ i $AC=2$.

Pole wynosi

$$P=\frac12(\sqrt3+1)\sqrt6\sin45^\circ =\frac{3+\sqrt3}{2}.$$

Bok rombu ma długość $a=16/4=4$. Ponieważ kąt jest rozwarty,

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac1{16}}=\frac{\sqrt{15}}4.$$

Stąd

$$P=a^2\sin\alpha=16\cdot\frac{\sqrt{15}}4=4\sqrt{15}.$$

Bok rombu ma długość $a=4$. Krótsza przekątna łączy końce dwóch boków tworzących kąt rozwarty, dlatego

$$d^2=a^2+a^2+2a^2\cos\alpha =32\left(1-\frac14\right)=24.$$

Zatem

$$d=2\sqrt6.$$