NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 284

Bok sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg jest równy promieniowi, więc ma długość $a\sqrt2$. Sześciokąt składa się z sześciu trójkątów równobocznych:

$$P=6\cdot\frac{(a\sqrt2)^2\sqrt3}{4} =3\sqrt3a^2.$$

Odległość środków okręgów stycznych zewnętrznie jest sumą ich promieni. Boki trójkąta mają więc długości

$$AB=9,\qquad AC=13,\qquad BC=16.$$

Największy kąt leży naprzeciw boku $BC=16$. Z twierdzenia cosinusów

$$\cos A=\frac{9^2+13^2-16^2}{2\cdot9\cdot13} =-\frac1{39}.$$

Oznaczmy długość ramienia przez $l$. Podstawa ma długość $l\sqrt3$, a pole trójkąta

$$P=\frac12l^2\sin120^\circ=\frac{l^2\sqrt3}{4}.$$

Półobwód wynosi $s=l+\frac{l\sqrt3}{2}$. Ponieważ promień okręgu wpisanego jest równy $6$, z zależności $P=rs$ mamy

$$\frac{l^2\sqrt3}{4}=6\left(l+\frac{l\sqrt3}{2}\right).$$

Po skróceniu otrzymujemy

$$l\sqrt3=24+12\sqrt3.$$

Jeśli $x$ oznacza podstawę, to z twierdzenia cosinusów

$$x^2=30^2+30^2-2\cdot30^2\cdot\frac1{50} =1764,$$

więc $x=42$. Obwód wynosi $30+30+42=102$.

Z twierdzenia cosinusów i równości $(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1$:

$$BC^2=(\sqrt2-1)^2+(\sqrt2+1)^2 -2\cdot1\cdot\cos120^\circ =6+1=7.$$

Najdłuższy bok ma długość $2\sqrt2$. Dla leżącego naprzeciw niego kąta $\alpha$:

$$\cos\alpha=\frac{2^2+(\sqrt6)^2-(2\sqrt2)^2}{2\cdot2\cdot\sqrt6} =\frac{2}{4\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{12}.$$

Krótsza przekątna zamyka trójkąt z kątem $30^\circ$. Z twierdzenia cosinusów

$$d^2=4^2+(2+2\sqrt3)^2 -2\cdot4(2+2\sqrt3)\cos30^\circ.$$

Ponieważ $(2+2\sqrt3)^2=16+8\sqrt3$, otrzymujemy

$$d^2=32+8\sqrt3-(24+8\sqrt3)=8,$$

czyli $d=2\sqrt2$.