NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 286

Każdy z ośmiu równych łuków ma miarę

$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Kąt wpisany oparty na jednym takim łuku ma więc miarę

$$\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ=22^\circ30'.$$

W odpowiedzi C kąt $\angle A_6A_8A_7$ jest oparty na łuku $\widehat{A_6A_7}$, a w odpowiedzi E kąt $\angle A_2A_6A_3$ — na łuku $\widehat{A_2A_3}$. Każdy z tych łuków jest jednym z ośmiu równych łuków. Pozostałe kąty są oparte na łukach złożonych z większej liczby części.

Przeciwprostokątna trójkąta ma długość

$$c=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26\ \mathrm{cm}.$$

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego, więc jego promień wynosi $R=13$ cm. Pole koła jest równe

$$\pi R^2=169\pi\ \mathrm{cm}^2.$$

Należy zatem wybrać wartość A i uzasadnienie 3.

Niech $D$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z $C$ na przeciwprostokątną $AB$. Trójkąty $ACD$ i $BCD$ są prostokątne w punkcie $D$. Ich przeciwprostokątnymi są odpowiednio przyprostokątne $AC$ i $BC$ trójkąta wyjściowego, mające długości $10$ cm i $24$ cm.

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą jego okręgu opisanego. Długości tych okręgów wynoszą zatem

$$L_1=\pi\cdot10=10\pi\ \mathrm{cm}, \qquad L_2=\pi\cdot24=24\pi\ \mathrm{cm}.$$

Najmniejszy kąt $\alpha$ leży naprzeciw boku długości $4$. Z twierdzenia cosinusów

$$\cos\alpha =\frac{5^2+6^2-4^2}{2\cdot5\cdot6} =\frac{45}{60}=\frac34.$$

Jest to odpowiedź D.

Największy kąt $\beta$ leży naprzeciw boku długości $6$, więc

$$\cos\beta =\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot4\cdot5} =\frac5{40}=\frac18.$$

Jest to odpowiedź A.