NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 282

Oznaczmy promień każdego z dwóch górnych kół przez $r$. Ich średnice wypełniają szerokość kwadratu, zatem

$$4r=32, \qquad r=8\ \text{m}.$$

Niech $\rho$ będzie promieniem dolnego koła. Środki górnego lewego i dolnego koła różnią się poziomo o $8$, a pionowo o $24-\rho$. Ponieważ koła są styczne zewnętrznie, odległość ich środków wynosi $8+\rho$. Stąd

$$8^2+(24-\rho)^2=(8+\rho)^2,$$ $$576=64\rho, \qquad \rho=9\ \text{m}.$$

Łączne pole trawników wynosi

$$2\pi\cdot8^2+\pi\cdot9^2=209\pi\approx656{,}6\ \text{m}^2.$$

Jest ono większe od $600\ \text{m}^2$.

Wysokość trapezu jest średnicą koła, więc wynosi $60\ \text{cm}$, a dolna podstawa ma długość

$$AB=45+90=135\ \text{cm}.$$

Dla boku stycznego do koła między dwiema równoległymi prostymi iloczyn odcinków stycznych leżących przy obu podstawach jest równy $r^2$. Odcinki górnej podstawy mają zatem długości

$$x=\frac{30^2}{45}=20, \qquad y=\frac{30^2}{90}=10.$$

Stąd $CD=30\ \text{cm}$ i pole trapezu wynosi

$$P_T=\frac{135+30}{2}\cdot60=4950\ \text{cm}^2.$$

Pole koła to $P_K=900\pi\ \text{cm}^2$. Procent ścinków jest równy

$$\frac{P_T-P_K}{P_T}\cdot100\% =100\left(1-\frac{2\pi}{11}\right)\%\approx42{,}9\%.$$

Nitki są ramionami trójkąta równoramiennego. Po opuszczeniu wysokości na podstawę otrzymujemy

$$\frac d2=1\cdot\sin0{,}5^\circ,$$

czyli

$$d=2\sin0{,}5^\circ\ \text{m}\approx0{,}01745\ \text{m} =1{,}745\ \text{cm}.$$

Po zaokrągleniu do pełnych centymetrów otrzymujemy $2\ \text{cm}$.

Kąt między pionowym masztem a zboczem ma miarę

$$90^\circ-43^\circ=47^\circ.$$

Trzeci kąt trójkąta utworzonego przez maszt, cień i promień słoneczny wynosi

$$180^\circ-47^\circ-63^\circ=70^\circ.$$

Z twierdzenia sinusów

$$\frac{h}{\sin63^\circ}=\frac{12}{\sin70^\circ},$$

więc

$$h=\frac{12\sin63^\circ}{\sin70^\circ}\approx11{,}4\ \text{m}.$$

Z kierunków na rysunku otrzymujemy

$$\angle A=80^\circ-10^\circ=70^\circ, \qquad \angle B=80^\circ,$$

więc $\angle C=30^\circ$.

Z twierdzenia sinusów

$$\frac{AB}{\sin30^\circ} =\frac{AC}{\sin80^\circ} =\frac{BC}{\sin70^\circ}.$$

Ponieważ $AB=500\ \text{m}$, mamy

$$AC=1000\sin80^\circ\approx984{,}8\ \text{m},$$ $$BC=1000\sin70^\circ\approx939{,}7\ \text{m}.$$