NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 277

Niech $O$ będzie środkiem danego okręgu.

Kwadrat:

1. Prowadzimy przez $O$ dowolną prostą. Jej punkty przecięcia z okręgiem oznaczamy $A$ i $C$; odcinek $AC$ jest średnicą.
2. Konstruujemy prostą prostopadłą do $AC$ w punkcie $O$. Niech przecina okrąg w punktach $B$ i $D$.
3. Łączymy kolejno $A,B,C,D,A$.

Kolejne kąty środkowe mają po $90^\circ$, więc odpowiadające im cięciwy są równe. Czworokąt $ABCD$ jest zatem kwadratem.

Ośmiokąt foremny:

4. Konstruujemy dwusieczną każdego z czterech kątów prostych utworzonych przez średnice $AC$ i $BD$.
5. Każda dwusieczna przecina okrąg w dwóch punktach. Razem z punktami $A,B,C,D$ otrzymujemy osiem punktów.
6. Łączymy te punkty kolejno wzdłuż okręgu.

Każdy kąt środkowy nowej figury ma miarę $45^\circ$, więc wszystkie jej boki są równymi cięciwami. Powstała figura jest ośmiokątem foremnym.

Niech dany odcinek $AB$ ma długość $s$. Najpierw skonstruujemy długość przekątnej pięciokąta foremnego, równą

$$d=\frac{1+\sqrt5}{2}s.$$

1. Wyznaczamy środek $M$ odcinka $AB$.

2. W punkcie $B$ prowadzimy prostą prostopadłą do $AB$ i odkładamy na niej odcinek $BG=s$.

3. Łączymy $M$ z $G$. Z twierdzenia Pitagorasa $MG=\frac{\sqrt5}{2}s$.

4. Kreślimy okrąg o środku $M$ i promieniu $MG$. Punkt jego przecięcia z półprostą $AB$ leżący za $B$ oznaczamy $F$. Wtedy

   $$AF=AM+MF=\frac{s}{2}+\frac{\sqrt5}{2}s=d.$$

Teraz budujemy pięciokąt po wybranej stronie prostej $AB$.

5. Punkt $C$ wyznaczamy jako przecięcie okręgu o środku $B$ i promieniu $s$ z okręgiem o środku $A$ i promieniu $d$.
6. Punkt $E$ wyznaczamy jako przecięcie po tej samej stronie prostej $AB$ okręgu o środku $A$ i promieniu $s$ z okręgiem o środku $B$ i promieniu $d$.
7. Kreślimy okręgi o środkach $C$ i $E$ oraz promieniu $s$. Ich punkt przecięcia położony dalej od prostej $AB$ oznaczamy $D$.
8. Łączymy kolejno $A,B,C,D,E,A$.

Mamy $AB=BC=CD=DE=EA=s$, a skonstruowane przekątne $AC$ i $BE$ mają długość $d=\frac{1+\sqrt5}{2}s$. Taki stosunek przekątnej do boku charakteryzuje pięciokąt foremny, więc otrzymana figura jest szukanym pięciokątem.